圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为（O为原点），则两条渐近线的夹角为（　　）

A30°

B45°

C60°

D90°

正确答案

D

解析

解：2条渐近线方程是：y=±x，∵右准线与一条渐近线交于点A，可设点A（，），

∵△OAF的面积为（O为原点），∴c•=，

∴a=b，此双曲线为等轴双曲线，

∴渐近线的斜率分别为1和-1，两条渐近线的夹角为90°，

故答案D．

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题型：简答题

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简答题

求满足下列条件的双曲线方程

（1）两焦点分别为F1（-10，0），F2（10，0），点P（8，0）在双曲线上；

（2）已知双曲线过两点．

正确答案

解：（1）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），

可得，

解得a2=64且b2=36，

∴所求双曲线的方程为；

（2）设双曲线方程为mx2+ny2=1（mn＜0），

∵双曲线过两点

∴，

解得，

因此，所求双曲线的方程为-x2+y2=1，化为标准方程得．

解析

解：（1）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），

可得，

解得a2=64且b2=36，

∴所求双曲线的方程为；

（2）设双曲线方程为mx2+ny2=1（mn＜0），

∵双曲线过两点

∴，

解得，

因此，所求双曲线的方程为-x2+y2=1，化为标准方程得．

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题型：填空题

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填空题

（2015春•宁波校级期中）已知双曲线-=1（b＞0）的一个焦点在直线y=2x-10上，则双曲线的方程为______．

正确答案

解析

解：由题意可得双曲线的焦点在x轴，

故令y=0，代入y=2x-10可得x=5，

故其中的一个焦点为（5，0），可得52=5+b2，

解得b2=20，故可得双曲线的方程为．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为______．

正确答案

解析

解：∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为，

∴=，

又离心率e=，

∴e2=1+=4，

∴===+≥2=2=．

即的最小值为．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

（2016•成都模拟）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，若E上存在点P使△F1F2P为等腰三角形，且其顶角为，则的值是（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：由题意，可得∠PF2x=60°，|PF2|=2c，

∴P（2c，c），

代入双曲线的方程可得-=1，

∴4b4-3a4=0，

∴=．

故选：B．

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题型：填空题

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填空题

设双曲线-=1的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为______．

正确答案

解析

解：a2=9，b2=16，故c=5，

∴A（3，0），F（5，0），

不妨设BF的方程为y=（x-5），

代入双曲线方程解得：B（，-）．

∴S△AFB=|AF|•|yB|=•2•=．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F2且垂直于x轴的弦为AB，若∠AF1B=90°，则双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：由题意可知，双曲线的通径为：，因为过焦点F2且垂直于x轴的弦为AB，若∠AF1B=90°，

所以2c=，

所以2ca=c2-a2，

所以e2-2e-1=0，解得e=1±，因为e＞1，所以e=．

故选C．

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题型：简答题

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简答题

设双曲线经过点（-2，0），且离心率e=．

（1）求此双曲线的标准方程；

（2）求双曲线的焦点坐标及渐近线方程．

正确答案

解：（1）由题意，a=2，c=，

∴b=1，

∴双曲线的标准方程；

（2）双曲线的焦点坐标（，0），渐近线方程为y=±x．

解析

解：（1）由题意，a=2，c=，

∴b=1，

∴双曲线的标准方程；

（2）双曲线的焦点坐标（，0），渐近线方程为y=±x．

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题型：简答题

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简答题

如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是x2+y2-4y-4=0，双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点．

（1）试求双曲线的标准方程；

（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在“8”字形曲线上求点P，使得∠F1PF2是直角．

（3）过点A作直线l分别交“8”字形曲线中上、下两个半圆于点M、N，求|MN|的最大长度．

正确答案

解：（1）上半个圆所在圆方程是x2+y2-4y-4=0，则圆心为（0，2），半径为2．

则下半个圆所在圆的圆心为（0，-2），半径为2．

双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，即为（-2，0），（2，0），即a=2，

由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点，则令y=2，解得，x=±2．

即有交点为（±2，2）．

设双曲线的方程为-=1（a＞0，b＞0），

则-=1，且a=2，解得，b=2．

则双曲线的方程为=1；

（2）双曲线的左、右焦点为F1（-2，0），F2（2，0），

若∠F1PF2是直角，则设P（x，y），则有x2+y2=8，

由解得，x2=6，y2=2．

由解得，y=±1，不满足题意，舍去．

故在“8”字形曲线上所求点P的坐标为（），（）．

（3）设M，N的横坐标分别为xM，xN．

①直线l的斜率不存在时，|MN|=8；

②直线l的斜率存在时，设方程为y=k（x+2），

代入x2+y2-4y-4=0，可得（k2+1）x2+（4k2-4k）x+4k2-8k-4=0，

∴-2xM=，

∴xM=，

同理xN=，

∴|MN|=|xM-xN|=＜8，

∴|MN|的最大长度为8．

解析

解：（1）上半个圆所在圆方程是x2+y2-4y-4=0，则圆心为（0，2），半径为2．

则下半个圆所在圆的圆心为（0，-2），半径为2．

双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，即为（-2，0），（2，0），即a=2，

由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点，则令y=2，解得，x=±2．

即有交点为（±2，2）．

设双曲线的方程为-=1（a＞0，b＞0），

则-=1，且a=2，解得，b=2．

则双曲线的方程为=1；

（2）双曲线的左、右焦点为F1（-2，0），F2（2，0），

若∠F1PF2是直角，则设P（x，y），则有x2+y2=8，

由解得，x2=6，y2=2．

由解得，y=±1，不满足题意，舍去．

故在“8”字形曲线上所求点P的坐标为（），（）．

（3）设M，N的横坐标分别为xM，xN．

①直线l的斜率不存在时，|MN|=8；

②直线l的斜率存在时，设方程为y=k（x+2），

代入x2+y2-4y-4=0，可得（k2+1）x2+（4k2-4k）x+4k2-8k-4=0，

∴-2xM=，

∴xM=，

同理xN=，

∴|MN|=|xM-xN|=＜8，

∴|MN|的最大长度为8．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线，b＞0）的离心率e=，直线l过A（a，0）、B（0，-b）两点，原点O到l的距离是．

（1）求双曲线的方程；

（2）求该双曲线的渐近线方程、顶点坐标和焦点坐标．

正确答案

解：（1）∵直线l过A（a，0）、B（0，-b）两点，

∴直线l的方程为，即bx-ay-ab=0

∵原点O到l的距离是，∴=

又，∴．…（5分）

故所求双曲线的方程为．…（6分）

（2）渐近线方程为，…（8分）

顶点坐标为…（10分）

又C=2，所以焦点坐标为（2，0），（-2，0）…（12分）

解析

解：（1）∵直线l过A（a，0）、B（0，-b）两点，

∴直线l的方程为，即bx-ay-ab=0

∵原点O到l的距离是，∴=

又，∴．…（5分）

故所求双曲线的方程为．…（6分）

（2）渐近线方程为，…（8分）

顶点坐标为…（10分）

又C=2，所以焦点坐标为（2，0），（-2，0）…（12分）

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题型：单选题

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单选题

双曲线kx2-y2=1的一个焦点是，那么它的实轴长是（　　）

A1

B2

C

D

正确答案

B

解析

解：由题设条件知，

∴k=1，

∴实轴．

故选B．

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题型：填空题

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填空题

已知点P在双曲线x2-y2=a2（a＞0）的右支上，A1，A2分别是双曲线的左、右顶点，且∠A2PA1=2∠PA1A2，则∠PA1A2=______．

正确答案

解析

解：设∠PA1A2=α，则∠PA2X=3α．设P（x，y），A1（-a，0），A2（a，0）．

PA1的斜率 k1=tanα=，PA2的斜率 k2=tan3α=

∵k1k2=，∴tanαtan3α=1，∴tan3α=cotα=tan（-α）．

∵‍3α是锐角，必有 3α=-α，∴‍α=．

故答案为．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，-）．

（1）求双曲线方程；

（2）若M是双曲线右支上的点，且，求△F1MF2的面积．

正确答案

解：（1）∵e=，

∴双曲线为等轴双曲线，

∴可设双曲线方程为x2-y2=λ；

∵过点（4，-），

∴16-8=λ，即λ=8．

∴双曲线方程为x2-y2=8．

（2）∵M是双曲线右支上的点，且，

∴，

∴|MF1||MF2|==16，

∴S△F1MF2=|MF1||MF2|=8．

解析

解：（1）∵e=，

∴双曲线为等轴双曲线，

∴可设双曲线方程为x2-y2=λ；

∵过点（4，-），

∴16-8=λ，即λ=8．

∴双曲线方程为x2-y2=8．

（2）∵M是双曲线右支上的点，且，

∴，

∴|MF1||MF2|==16，

∴S△F1MF2=|MF1||MF2|=8．

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题型：填空题

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填空题

已知离心率为的双曲线-y2=1的两个焦点为F1，F2，点P在此双曲线上，且•=0，则点P到x轴的距离等于______．

正确答案

解析

解：设点P（x，y），

离心率为的双曲线-y2=1，可得a=2，F1（-，0）、F2（，0），

∵•=0，

∴PF1⊥PF2

∴，

∴x2+y2=5，

代入双曲线方程-y2=1，

∴-y2=1，

∴|y|=，

∴P到x轴的距离是．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

如图，在双曲线-=1的上支上有三点A（x1，y1），B（x2，6），C（x3，y3），它们与点F（0，5）的距离成等差数列．

（1）求y1+y3的值；

（2）证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标．

正确答案

（1）解：c==5，故F为双曲线的焦点，设F对应准线为l，则l的方程 y=，离心率为e==，

由题设有2|FB|=|FA|+|FC|．①分别过A、B、C作x轴的垂线AA2、BB2、CC2，交l于A1、B1、C1，

则由双曲线第二定义有|FB|=e|BB1|，|FA|=e|AA1|，|FC|=e|CC1|，代入①式，得 2e|BB1|=e|AA1|+e|CC1|，

即2|BB1|=|AA1|+|CC1|．∴2（6-）=+，∴y1+y3=12．

（2）证明：线段AC中点D（，6），线段AC的斜率为，

∴线段AC的中垂线的斜率为-，∴线段AC的中垂线的方程为 y-6=-（x-） ①，

又A、C在双曲线上，∴，，相减得，

∴x12-x32=13（y1-y3），代入①得线段AC的中垂线的方程为 y=-x+，

显然过定点（0，）．

解析

（1）解：c==5，故F为双曲线的焦点，设F对应准线为l，则l的方程 y=，离心率为e==，

由题设有2|FB|=|FA|+|FC|．①分别过A、B、C作x轴的垂线AA2、BB2、CC2，交l于A1、B1、C1，

则由双曲线第二定义有|FB|=e|BB1|，|FA|=e|AA1|，|FC|=e|CC1|，代入①式，得 2e|BB1|=e|AA1|+e|CC1|，

即2|BB1|=|AA1|+|CC1|．∴2（6-）=+，∴y1+y3=12．

（2）证明：线段AC中点D（，6），线段AC的斜率为，

∴线段AC的中垂线的斜率为-，∴线段AC的中垂线的方程为 y-6=-（x-） ①，

又A、C在双曲线上，∴，，相减得，

∴x12-x32=13（y1-y3），代入①得线段AC的中垂线的方程为 y=-x+，

显然过定点（0，）．

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