- 圆锥曲线与方程
- 共4501题
已知F1、F2为双曲线
正确答案
解：如图，
∵∠F1PF2=45°；
∴|F1F2|=|PF2|；
∴
∴
∴4（a2+b2）a2=b4；
∴4a4+4a2b2-b4=0；
∴
∴此双曲线的渐近线方程为y=
解析
解：如图，
∵∠F1PF2=45°；
∴|F1F2|=|PF2|；
∴
∴
∴4（a2+b2）a2=b4；
∴4a4+4a2b2-b4=0；
∴
∴此双曲线的渐近线方程为y=
已知双曲线x2-
正确答案
-2
解析
解：根据题意，设P（x，y）（x≥1），
易得A1（-1，0），F2（2，0），
又x2-
于是
当x=1时，取到最小值-2；
故答案为：-2．
双曲线
A
B1
C2
D4
正确答案
解析
解：不妨设F1、F2是双曲线的左右焦点，
P为右支上一点，
|PF1|-|PF2|=2
|PF1|+|PF2|=2
由①②解得：
|PF1|=
得：|PF1|2+|PF2|2=4n+4=|F1F2|2，
∴PF1⊥PF2，
又由①②分别平方后作差得：
|PF1||PF2|=2，
故选B
双曲线x2-y2=1的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF的斜率的变化范围是（ ）
正确答案
解析
解：由题意条件知双曲线的渐近线倾斜角为45°，
当点P向双曲线左下方无限移动时，直线PF逐渐与渐近线平行，但是永不平行，所以倾斜角大于45°；
当点P逐渐靠近顶点时，倾斜角逐渐增大，但是小于180°．
所以直线PF的倾斜角的范围是（45°，180°）．
由此可知直线PF的斜率的变化范围（-∞，0）∪（1，+∞）．
故选C．
正确答案
解：选择海平面与剖面的交线为x轴，A，B所在直线为y轴，B为原点建立如图所示直角坐标系，
据题意可设曲线方程为
可知到2050年底海平面共上升了4×50=200（厘米），即2米，使该地区有水面面积10千米2，
即当y=2时，πx2=107，代入①得，
故双曲线方程为
照此推算，到2100年底海平面共上升了4×100=400（厘米），即4米．
把y=4代入②得，πx2=50×106．
所以该地区在2100年底将有水面面积50千米2．
解析
解：选择海平面与剖面的交线为x轴，A，B所在直线为y轴，B为原点建立如图所示直角坐标系，
据题意可设曲线方程为
可知到2050年底海平面共上升了4×50=200（厘米），即2米，使该地区有水面面积10千米2，
即当y=2时，πx2=107，代入①得，
故双曲线方程为
照此推算，到2100年底海平面共上升了4×100=400（厘米），即4米．
把y=4代入②得，πx2=50×106．
所以该地区在2100年底将有水面面积50千米2．
已知P是双曲线
①双曲线的一条准线被它的两条渐近线所截得的线段长度为
②若|PF1|=e|PF2|，则e的最大值为
③△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为a；
其中正确命题的序号是______．
正确答案
①③
解析
解：双曲线的渐近线为y=±
∴准线被它的两条渐近线所截得的线段长度为2×
∵|PF1|-|PF2|=2a=（e-1）|PF2|≥（e-1）（c-a），整理得（e-1）•（e-1）≤2，解得，e≤1+
设△PF1F2的内切圆的圆心为O，内切圆切PF1于A点，PF2于B点，F1F2于C点，
因为是内切圆，所以有OA⊥PF1，OB⊥PF2，OC⊥F1F2，且PA=PB，AF1=F1C，BF2=CF2．因为OC⊥F1F2，即x轴，只要求出C点的横坐标，就等于求出了O点的横坐标．
由双曲线的性质可知
∵|PF1|-|PF2|=2a
∵|PF1|=|PA|+|AF1|，|PF2|=|PB|+|BF2|，
∴|PF1|-|PF2|=（|PA|+|AF1|）-（|PB|+|BF2|）=|CF1|-|CF2|=2a，
又∵|CF1|+|CF2|=2c，联立可得CF2=c-a，∵F2（c，0），
∴C（a，0）．
∴O点横坐标就为a，故③正确．
故答案为①③
A、B、C是我军三个炮兵阵地，A在B的正东方向相距6千米，C在B的北30°西方向，相距4千米，P为敌炮阵地．某时刻，A发现敌炮阵地的某信号，由于B、C比A距P更远，因此，4秒后，B、C才同时发现这一信号（该信号的传播速度为每秒1千米）．若从A炮击敌阵地P，求炮击的方位角．
正确答案
解：以线段AB的中点为原点，正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系，则
依题意|PB|-|PA|=4
∴P在以A、B为焦点的双曲线的右支上．这里a=2，c=3，b2=5．其方程为 
又|PB|=|PC|，∴P又在线段BC的垂直平分线上
由方程组
由于
解析
解：以线段AB的中点为原点，正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系，则
依题意|PB|-|PA|=4
∴P在以A、B为焦点的双曲线的右支上．这里a=2，c=3，b2=5．其方程为
又|PB|=|PC|，∴P又在线段BC的垂直平分线上
由方程组
由于
双曲线x2-y2=1的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线的方程为（ ）
正确答案
解析
解：设以A（2，1）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），
则x1+x2=4，y1+y2=2．
又x12-y12=1，①
x22-y22=1，②
①-②得：（x1+x2）（x1-x2）=（y1+y2）（y1-y2），
又据对称性知x1≠x2，
∴A（2，1）为中点的弦所在直线的斜率k=2，
∴中点弦所在直线方程为y-1=2（x-2），即y=2x-3．
故选C．
已知P是双曲线
正确答案
5
解析
解：∵双曲线的一条渐近线方程为3x-y=0，
∴a=1，
由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a=2，
∴|PF1|-3=2，
∴|PF1|=5．
故答案为：5．
正确答案
设M是界线上的任一点，则
|PA|+|MA|=|PB|+|MB|，
即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=20（定值）
故所求界线是以A、B为焦点的双曲线一支．
若以直线AB为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则a=10，
2c=|AB|=
因此，双曲线方程为
即为所求界线的方程．
解析
设M是界线上的任一点，则
|PA|+|MA|=|PB|+|MB|，
即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=20（定值）
故所求界线是以A、B为焦点的双曲线一支．
若以直线AB为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则a=10，
2c=|AB|=
因此，双曲线方程为
即为所求界线的方程．
已知双曲线
正确答案
解析
解：由题意可得双曲线的渐近线方程为y=
故可得
故
故答案为：
经过双曲线
（1）求|AB|；
（2）求△F2AB的周长（F2为右焦点）．
正确答案
解：（1）双曲线的左焦点为F1（-2，0），直线AB的斜率k=tan
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则直线AB：y=
代入3x2-y2-3=0整理得8x2-4x-13=0
∴x1+x2=
∴|x1-x2|=
∴|AB|=
（2）|F2A|=2x1-1，|F2B|=1-2x2
∴|F2A|+|F2B|=2（x1-x2）=3
∴△F2AB的周长为3+3
解析
解：（1）双曲线的左焦点为F1（-2，0），直线AB的斜率k=tan
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则直线AB：y=
代入3x2-y2-3=0整理得8x2-4x-13=0
∴x1+x2=
∴|x1-x2|=
∴|AB|=
（2）|F2A|=2x1-1，|F2B|=1-2x2
∴|F2A|+|F2B|=2（x1-x2）=3
∴△F2AB的周长为3+3
已经点P（-3，1）在双曲线
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题意知
∵方向向量为
过点P（-3，1）且方向向量为
∴双曲线的左焦点是F（-5，0）．由c=5．
由
∴
故选A．
已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线为2x-y=0，则该双曲线的离心率为______．
正确答案
解析
解：（1）当双曲线焦点在x轴上时，
设它的标准方程为
∵双曲线的一条渐近线方程是2x-y=0，
∴双曲线渐近线方程是
∴
∵c2=a2+b2
∴
所以双曲线的离心率为e=
（2）当双曲线焦点在y轴上时，
设它的标准方程为
采用类似（1）的方法，可得
∴
所以双曲线的离心率为e=
综上所述，该双曲线的离心率为
故答案为：
①等轴双曲线不是黄金双曲线；
②双曲线x2-
③若b2=ac，则该双曲线是黄金双曲线；
④如图，若∠F1B1A2=90°，则该双曲线是黄金双曲线；其中正确的命题序号是______．
正确答案
①②③④
解析
解：①等轴双曲线的离心率是
②由双曲线x2-
③∵b2=ac，∴c2-a2-ac=0，化为e2-e-1=0，又e＞1，解得e=
④∵∠F1B1A2=90°，∴
故答案为：①②③④．
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