圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线=1与抛物线y2=2px有公共焦点F，双曲线与抛物线的准线交于M、N两点，且△MNF为等边三角形，则p的值为（　　）

A2

B2

C4

D6

正确答案

D

解析

解：由题意，a2+6=．

准线方程与双曲线联立可得y=±

因为△ABF为等边三角形，所以2c=×，即ac=3，

即a2（a2+6）=27，解得a2=3，

∴=9，

∴p=6．

故选：D．

1

题型：填空题

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填空题

已知双曲线的一个焦点是抛物线 y2=8x的焦点，且双曲线C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为______．

正确答案

解析

解：由抛物线y2=8x，可得其焦点为（2，0）．

由题意双曲线的一个焦点是抛物线 y2=8x的焦点，∴c=2．

又双曲线的离心率为2，∴=2，得到a=1，∴b2=c2-a2=3．

∴双曲线的方程为．

故答案为：．

1

题型：填空题

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填空题

（2015•南通模拟）已知双曲线的离心率为，那么此双曲线的准线方程为______．

正确答案

解析

解：∵双曲线的离心率为，

∴（m-3）（m+5）＜0，=，

∴-5＜m＜3，=，

∴m=-，

∴a=，c=2，

∴双曲线的准线方程为

故答案为：．

1

题型：单选题

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单选题

双曲线+=1的焦距为（　　）

A1

B2

C2

D2

正确答案

B

解析

解：因双曲线+=1，

化为：，①或②，

①应满足即0＜a＜1；

②应满足，解得a∈∅，

故双曲线的方程为：，

所以焦距为：2c=2=2，

故选B．

1

题型：单选题

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单选题

已知F是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点，过F作倾斜角为60°的直线l，直线l与双曲线交于点A与y轴交于点B且，则该双曲线的离心率等于（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F为（-c，0），

直线l的方程为y=（x+c），

令x=0，则y=c，

即B（0，c），设A（m，n），

由，可得（m+c，n）=（c，c），

即有m=-c，n=c．

即A（-c，c），

代入双曲线方程，可得•-•=1，

由于e=（e＞1），则4e2-3•=9，

化简可得4e4-16e2+9=0，

解得e=或（舍去）．

故选D．

1

题型：单选题

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单选题

若方程C：x2+=1（a是常数）则下列结论正确的是（　　）

A∀a∈R+，方程C表示椭圆

B∀a∈R-，方程C表示双曲线

C∃a∈R-，方程C表示椭圆

D∃a∈R，方程C表示抛物线

正确答案

B

解析

解：∵当a=1时，方程C：即x2+y2=1，表示单位圆

∴∃a∈R+，使方程C不表示椭圆．故A项不正确；

∵当a＜0时，方程C：表示焦点在x轴上的双曲线

∴∀a∈R-，方程C表示双曲线，得B项正确；∀a∈R-，方程C不表示椭圆，得C项不正确

∵不论a取何值，方程C：中没有一次项

∴∀a∈R，方程C不能表示抛物线，故D项不正确

综上所述，可得B为正确答案

故选：B

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题型：填空题

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填空题

双曲线=1的两条渐近线方程为______．

正确答案

y=±x

解析

解：由于双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为

y=x，

则双曲线=1的两条渐近线方程为y=±x．

故答案为：y=±x．

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题型：单选题

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单选题

已知点P为双曲线（a＞0，b＞0）的右支上一点，F1、F2为双曲线的左、右焦点，使（O为坐标原点），且||=||，则双曲线离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：∵（O为坐标原点），

∴，∴||=||=||=c，

∴∠F1PF2=90°，

设|PF2|=x，则|PF1|=，

，解得，

∴=（）a，

∴．

故选D．

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题型：简答题

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简答题

已知过点P（1，2）的直线l，被双曲线2x2-y2=2截得的弦AB长4，求直线l的方程．

正确答案

解：作图如右图，

设直线l的方程为y=k（x-1）+2，

与双曲线方程2x2-y2=2联立消y得，

（2-k2）x2+（2k2-4k）x-k2+4k-6=0，

设A（m，k（m-1）+2），B（n，k（n-1）+2）；

故m+n=-，m•n=；

则由弦AB长4可得，

•|m-n|=4，

即（1+k2）[（-）2-4]=32，

化简可得，2k4+2k3-11k2+2k+5=0，

解得，k=1；

故直线l的方程为y=x+1．

解析

解：作图如右图，

设直线l的方程为y=k（x-1）+2，

与双曲线方程2x2-y2=2联立消y得，

（2-k2）x2+（2k2-4k）x-k2+4k-6=0，

设A（m，k（m-1）+2），B（n，k（n-1）+2）；

故m+n=-，m•n=；

则由弦AB长4可得，

•|m-n|=4，

即（1+k2）[（-）2-4]=32，

化简可得，2k4+2k3-11k2+2k+5=0，

解得，k=1；

故直线l的方程为y=x+1．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|=c，则双曲线的渐近线方程为______．

正确答案

y=±x

解析

解：∵右顶点为A，

∴A（a，0），

∵F为抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，

F，

∵|FA|=c，

∴

抛物线的准线方程为

由得，

，

由①②，得=2c，即c2=2a2，

∵c2=a2+b2，

∴a=b，

∴双曲线的渐近线方程为：y=±x，

故答案为：y=±x．

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题型：单选题

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单选题

（文）设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0，F1、F2分别是双曲线左右焦点．若|PF1|=5，则|PF2|=（　　）

A3或7

B1或9

C7

D9

正确答案

D

解析

解：由双曲线的方程、渐近线的方程可得，∴a=2．由双曲线的定义可得||PF2|-5|=4，∴|PF2|=9，

故选D．

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题型：单选题

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单选题

过双曲线2x2-y2-2=0的右焦点作直线l交曲线于A、B两点，若|AB|=2则这样的直线存在（　　）

A0条

B1条

C2条

D3条

正确答案

B

解析

解：由双曲线2x2-y2-2=0化为，得a2=1，b2=2，，得右焦点F（，0）．

过右焦点作直线l交曲线于A、B两点，①若直线l的斜率k=0，此时点A，B分别为双曲线的左右顶点，故|AB|=2，满足条件．

②若直线l与双曲线的左右两支都相交，则|AB|≥2a=2；

③当直线l与双曲线的右支相交时，当l⊥x轴时，得到|AB|最短，此时|AB|==4＞2．

综上可知：|AB|=2，则这样的直线存在，且只有一条．

故选B．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，若抛物线x2=16y的焦点到双曲线C的渐近线的距离为，则双曲线C的方程为（　　）

A-=1

B-=1

C-y2=1

Dx2-=1

正确答案

C

解析

解：由题意，2c=2，∴c=．

抛物线x2=16y的焦点（0，4）到双曲线C的渐近线bx+ay=0的距离为=，

∴a=2，

∴b=1，

∴双曲线C的方程为-y2=1．

故选：C．

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题型：单选题

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单选题

双曲线两焦点为F1，F2，点P在双曲线上，直线PF1，PF2倾斜角之差为，则△PF1F2面积为

（　　）

A16

B32

C32

D42

正确答案

A

解析

解：∵直线PF1，PF2倾斜角之差为，

∴∠F1PF2=，

∴△PF1F2面积=16×=16．

故选A．

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题型：单选题

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单选题

双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1 相切，则该双曲线的离心率等于（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，

把y=x代入抛物线抛物线y=x2+1，

得bx2-ax+b=0，

∵渐近线与抛物线y=x2+1相切，

∴△=a2-4b2=0，

∴a=2b，

∴e====．

故选A．

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