圆锥曲线与方程_章节学习

1

题型：填空题

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填空题

双曲线的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点（1，2）在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是______．

正确答案

解析

解：双曲线的一条渐近线方程为：

y=，

∵点（1，2）在“上”区域内，

∴，即，

∴=，

又e＞1，

则双曲线离心率e的取值范围是．

故答案为：．

1

题型：填空题

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填空题

双曲线-=1的实轴长为______．

正确答案

6

解析

解：双曲线方程-=1中，

∵a2=9，

∴双曲线的实轴长2a=2×3=6．

故答案为：6．

1

题型：单选题

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单选题

（2015•杭州校级模拟）已知直线ax+y+2=0与双曲线x2-=1的一条渐进线平行，则这两条平行直线之间的距离是（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±2x，

由两直线平行的条件，可得a=±2，

再由两直线的距离公式，可得d==．

故选：A．

1

题型：填空题

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填空题

双曲线-=1的左支上一点P，该双曲线的一条渐近线方程3x+4y=0，F1，F2分别双曲线的左右焦点，若|PF1|=10，则|PF2|=______．

正确答案

18

解析

解：由双曲线的方程、渐近线的方程可得=，∴a=4．

由双曲线的定义可得|10-|PF2||=2a=8，

∴|PF2|=18或2，

∵P是双曲线-=1的左支上一点，

∴|PF2|=18

故答案为：18．

1

题型：简答题

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简答题

给定双曲线．

（1）过点A（2，1）的直线L与所给的双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程．

（2）过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

正确答案

解：设直线L的方程为y=k（x-2）+1，（1）

将（1）式代入双曲线方程，得：（2-k2）x2+（4k2-2k）x-4k2+4k-3=0，（2）

又设P1（x1，y1），P2（x2，y2），，

则x1，x2必须是（2）的两个实根，所以有．

按题意，，∴．

因为在直线（1）上，所以．

再由的表达式相除后消去k而得所求轨迹的普通方程为，这就是所求的轨迹方程．

（2）设所求直线方程为y=k（x-1）+1，代入双曲线方程，整理得（2-k2）x2+（2k2-2k）x-k2+2k-3=0，（3）

设必须是（3）的两个实根，

即如果B是Q1Q2的中点，

就有（x1+x2）=1，，所以有．

综合起来，k应满足．

由第二式解出k=2，但k=2不满足第一式，所以（I）无解．

故满足题设中条件的直线不存在．

解析

解：设直线L的方程为y=k（x-2）+1，（1）

将（1）式代入双曲线方程，得：（2-k2）x2+（4k2-2k）x-4k2+4k-3=0，（2）

又设P1（x1，y1），P2（x2，y2），，

则x1，x2必须是（2）的两个实根，所以有．

按题意，，∴．

因为在直线（1）上，所以．

再由的表达式相除后消去k而得所求轨迹的普通方程为，这就是所求的轨迹方程．

（2）设所求直线方程为y=k（x-1）+1，代入双曲线方程，整理得（2-k2）x2+（2k2-2k）x-k2+2k-3=0，（3）

设必须是（3）的两个实根，

即如果B是Q1Q2的中点，

就有（x1+x2）=1，，所以有．

综合起来，k应满足．

由第二式解出k=2，但k=2不满足第一式，所以（I）无解．

故满足题设中条件的直线不存在．

1

题型：单选题

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单选题

F1是双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点P是双曲线右支上一点，若线段PF1与y轴的交点M恰为PF1的中点，且|OM|=a（O为坐标原点），则C的离心率为（　　）

A

B

C2

D3

正确答案

B

解析

解：由题意，设右焦点是F2，

则|PF2|=2a，|PF1|=4a，

由中位线定理可得，PF2⊥F1F2，

由勾股定理可得16a2=4a2+4c2，

即有3a2=c2，

∴e==，

故选：B．

1

题型：单选题

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单选题

如图，双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点F1（-c，0）、F2（c，0），A为双曲线C右支上一点，且|AF1|=2c，AF1与y轴交于点B，若F2B是∠AF2F1的角平分线，则双曲线C的离心率是（　　）

A

B1+

C

D

正确答案

D

解析

解：由F2B是∠AF2F1的角平分线，O为F1F2的中点，

则|BF1|=|BF2|，

∠BF1F2=∠BF2F1=∠BF2A，设为α．

又|AF1|=2c，则∠A=2α，

则∠A+∠AF1F2+∠AF2F1=5α=180°，

即有α=36°，

∠ABF2=2α=72°=∠A，

即有|BF2|=|AF2|，

由双曲线的定义可得|AF1|-|AF2|=2a，

则|AF2|=2c-2a，|AB|=2c-（2c-2a）=2a，

由F2B是∠AF2F1的角平分线，可得=，

即有=，

即有ac=（c-a）2，

即c2-3ac+a2=0，

由e=，可得e2-3e+1=0，

解得e=或，

由于e＞1，则e=．

故选：D．

1

题型：简答题

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简答题

（1）焦点在y轴上的椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．

（2）已知双曲线的一条渐近线方程是x+2y=0，并经过点（2，2），求此双曲线的标准方程．

正确答案

解：（1）由题可知b=2，a=4，椭圆的标准方程为：（6分）

（2）设双曲线方程为：x2-4y2=λ，（9分）

∵双曲线经过点（2，2），∴λ=22-4×22=-12，

故双曲线方程为：．（12分）

解析

解：（1）由题可知b=2，a=4，椭圆的标准方程为：（6分）

（2）设双曲线方程为：x2-4y2=λ，（9分）

∵双曲线经过点（2，2），∴λ=22-4×22=-12，

故双曲线方程为：．（12分）

1

题型：单选题

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单选题

已知点P在圆C：x2+（y-3）2=1上，点Q在=1的右支上，F是双曲线的左焦点，则|PQ|+|QF|的最小值（　　）

A2+1

B3+2

C4+2

D5+2

正确答案

B

解析

解：如图，|PQ|+|QF|

=|CQ|-|CP|+|QF|

=|CQ|+|QF|-1

=|CQ|+|QF‘|+2a-1

=|CQ|+|QF'|+2-1

从图中可以看出，当F'，Q，C三点共线时，|CQ|+|QF'|最小，其中F'（，0）

则|PQ|+|QF|的最小值=|CF'|+2-1=4+2-1=3+2．

故选B．

1

题型：单选题

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单选题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x-2y=0，则该双曲线的离心率是（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x-2y=0，

∴a=2b，

∴c=b，

∴双曲线的离心率是e==．

故选：D．

1

题型：简答题

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简答题

已知P为-y2=1上的一点，F1、F2为焦点，且∠F1PF2=60°，求S．

正确答案

解：由题意可得 F2（，0），F1 （-，0），

由余弦定理可得 20=PF12+PF22-2PF1•PF2cos60°=（PF1-PF2）2+PF1•PF2=16+PF1•PF2，

∴PF1•PF2=4．

S△F1PF2=PF1•PF2sin60°=×4×=．

解析

解：由题意可得 F2（，0），F1 （-，0），

由余弦定理可得 20=PF12+PF22-2PF1•PF2cos60°=（PF1-PF2）2+PF1•PF2=16+PF1•PF2，

∴PF1•PF2=4．

S△F1PF2=PF1•PF2sin60°=×4×=．

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题型：简答题

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简答题

飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心（记为A，B，C），B在A的正东方向，相距6km，C在B的北偏东30°，相距4km，P为航天员着陆点，某一时刻A接到P的求救信号，由于B、C两地比A距P远，因此4s后，B、C两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s．

（1）求A、C两个救援中心的距离；

（2）求在A处发现P的方向角；

（3）若信号从P点的正上方Q点处发出，则A、B收到信号的时间差变大还是变小，并证明你的结论．

正确答案

解：（1）以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

则

即A、C两个救援中心的距离为

（2）∵|PC|=|PB|，所以P在BC线段的垂直平分线上

又∵|PB|-|PA|=4，所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且|AB|=6

∴双曲线方程为

BC的垂直平分线的方程为

联立两方程解得：x=-8∴

∴∠PAB=120°所以P点在A点的北偏西30°处

（3）如图，设|PQ|=h，|PB|=x，|PA|=y

∵

=

又∵

∴|QB|-|QA|＜|PB|-|PA|∴

即A、B收到信号的时间差变小

解析

解：（1）以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

则

即A、C两个救援中心的距离为

（2）∵|PC|=|PB|，所以P在BC线段的垂直平分线上

又∵|PB|-|PA|=4，所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且|AB|=6

∴双曲线方程为

BC的垂直平分线的方程为

联立两方程解得：x=-8∴

∴∠PAB=120°所以P点在A点的北偏西30°处

（3）如图，设|PQ|=h，|PB|=x，|PA|=y

∵

=

又∵

∴|QB|-|QA|＜|PB|-|PA|∴

即A、B收到信号的时间差变小

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过右焦点F2的直线l交双曲线的右支于A、B两点，若|AB|=3，则△ABF1的周长为______．

正确答案

22

解析

解：根据题意，双曲线图象如图：

|AF1|-|AF2|=2a=8 ①

|BF1|-|BF2|=2a=8 ②

而|AB|=3

①+②

得：|AF1|+|BF2|=19

∴周长为22

故答案为：22

1

题型：填空题

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填空题

椭圆+=1（m＞0）与双曲线-=1有相同的准线，则m的值是______．

正确答案

1

解析

解：∵双曲线-=1中，a2=16且b2=32m，

∴双曲线的半焦距c==，

由此可得双曲线的准线方程为x=，即x=．

同理可得椭圆+=1的准线方程为x=，

∵椭圆与双曲线有相同的准线，∴，解之得m=1．

故答案为：1

1

题型：填空题

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填空题

双曲线的中心、右焦点、右顶点、右准线与x轴的交点，依次为O、F、A、H，当|HF|≥|AF|时，的最大值为 ______．

正确答案

解析

解：|HF|=，|AF|=c-a，

则≥（c-a）⇒≥⇒c≤2a⇒e≤2

==e-，

记f（x）=x-，函数f（e）在（1，2]上递增，

∴f（x）≤f（2）=；

故答案为：．

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