圆锥曲线与方程_章节学习

1

题型：简答题

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简答题

已知双曲线C过点（2，3），它的一条渐近线是y=x，求双曲线C的方程．

正确答案

解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=x，

设双曲线方程为y2-2x2=λ（λ≠0），

∵双曲线过点P（2，3），

∴9-8=λ，即λ=1．

∴所求双曲线方程为y2-2x2=1．

解析

解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=x，

设双曲线方程为y2-2x2=λ（λ≠0），

∵双曲线过点P（2，3），

∴9-8=λ，即λ=1．

∴所求双曲线方程为y2-2x2=1．

1

题型：单选题

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单选题

若双曲线的一条渐近线方程为．则此双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：∵双曲线的一条渐近线方程为，

∴=，

∴，

∴=，

∴

故选B．

1

题型：填空题

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填空题

（2015秋•盐城校级月考）已知F（c，0）是双曲线的右焦点，若双曲线C的渐近线与圆相切，则双曲线C的离心率为______．

正确答案

解析

解：∵双曲线方程为，

∴双曲线的渐近线方程为y=x，即bx±ay=0

又∵圆的圆心为F（c，0），半径为c

∴由双曲线C的渐近线与圆E相切，得=c，

整理，得b=c，即=c，可得c=a

∴双曲线C的离心率e==

故答案为：

1

题型：单选题

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单选题

已知点P为双曲线（a，b＞o），被斜率为1的直线截得的弦的中点为（4，1），该双曲线离心率是（　　）

A2

B

C

D

正确答案

B

解析

解：设弦的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），

代入双曲线方程并作差整理得：，将斜率为1，弦的中点为（4，1）代入，∴a2=4b2，∴c2=5b2，∴，

故选B．

1

题型：单选题

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单选题

已知抛物线y2=8x的准线与双曲线交于A、B两点，点M为双曲线的右顶点，若△MAB为直角三角形，则双曲线的离心率等于（　　）

A

B

C3

D4

正确答案

B

解析

解：依题意可知M（1，0），抛物线的准线方程为x=-2，

把x=-2代入双曲线求得y=±a

根据双曲线的对称性可知△MAB为等腰直角三角形，

则|y|=2+1=3求得a=，c==2

e==

故选B．

1

题型：简答题

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简答题

如图，已知双曲线C1：=1（m＞0，n＞0），圆C2：（x-2）2+y2=2，双曲线C1的两条渐近线与圆C2相切，且双曲线C1的一个顶点A与圆心C2关于直线y=x对称，设斜率为k的直线l过点C2．

（1）求双曲线C1的方程；

（2）当k=1时，在双曲线C1的上支上求一点P，使其与直线l的距离为2．

正确答案

解：（1）双曲线C1的两条渐近线方程为：

y=±x，顶点A为（0，）

∵双曲线C1的两渐近线与圆C2：（x-2）2+y2=2相切

∴=

即=1 ①

又∵A（0，）与圆心C2（2，0）关于直线y=x对称

∴=2 ②

由①、②解得：m=n=4

故双曲线C1的方程为：y2-x2=4

（2）当k=1时，由l过点C2（2，0）知：

直线l的方程为：y=x-2

设双曲线C1上支上一点P（x0，y0）到直线l的距离为2，则

y02-x02=4，且=2，

又∵点P（x0，y0）在双曲线C1的上支上，故y0＞0

解得：x0=2，y0=2．

故点P的坐标为（2，2）．

解析

解：（1）双曲线C1的两条渐近线方程为：

y=±x，顶点A为（0，）

∵双曲线C1的两渐近线与圆C2：（x-2）2+y2=2相切

∴=

即=1 ①

又∵A（0，）与圆心C2（2，0）关于直线y=x对称

∴=2 ②

由①、②解得：m=n=4

故双曲线C1的方程为：y2-x2=4

（2）当k=1时，由l过点C2（2，0）知：

直线l的方程为：y=x-2

设双曲线C1上支上一点P（x0，y0）到直线l的距离为2，则

y02-x02=4，且=2，

又∵点P（x0，y0）在双曲线C1的上支上，故y0＞0

解得：x0=2，y0=2．

故点P的坐标为（2，2）．

1

题型：填空题

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填空题

已知双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为______．

正确答案

或

解析

解：焦点在x轴上时，设方程为（a＞0，b＞0），则

∵焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，

∴c=5，

∴

∴C的方程为；

焦点在y轴上时，设方程为（a′＞0，b′＞0），则

∵焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，

∴c′=5，

∴

∴C的方程为

故答案为或．

1

题型：填空题

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填空题

一条渐近线方程3x+4y=0，且经过点（4，6）的双曲线标准方程是______．

正确答案

-=1

解析

解：设双曲线方程为：9x2-16y2=λ，

将（4，6）代入可得λ=-442，

∴9x2-16y2=-442，即-=1．

故答案为：-=1．

1

题型：简答题

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简答题

求适合下列条件的双曲线的标准方程：

（1）焦点在y轴上，焦距为8，渐近线斜率为±；

（2）经过点（3，-2），且一条渐近线的倾斜角为；

（3）焦点在x轴上，过点P（4，-3），且Q（0，5）与两焦点连线互相垂直；

（4）离心率e=，经过点P（-5，3）；

（5）以椭圆+=1的长轴的端点为焦点，且过椭圆焦点．

正确答案

解：（1）设双曲线的标准方程：=1，

∵焦距为8，渐近线斜率为±；

∴c=4，=，

10a2=16，a2=，

b2=，

∴标准方程为：=1，

（2）∵经过点（3，-2），且一条渐近线的倾斜角为；

∴可判断焦点在y轴上，双曲线的标准方程：=1，

∴=1，=，

a=1，b=，

∴标准方程：y2=1，

（3）∵焦点在x轴上，过点P（4，-3），且Q（0，5）与两焦点连线互相垂直；

∴-=1，c=5，a2+b2=c2，

∴a4-66a2+32×25=0，a2=50（舍去），a2=16，b2=9，

∴方程为：=1，

（4）∵离心率e=，经过点P（-5，3）；

∴焦点在x轴上的等轴双曲线，-=1

∴=1，a2=16，

x2-y2=16，

（5）设-=1

∵椭圆+=1的长轴的端点（-2，0）（2，0），焦点为（-2，0）（2，0）

∴c=2，a=2，b=4，

∴=1，

解析

解：（1）设双曲线的标准方程：=1，

∵焦距为8，渐近线斜率为±；

∴c=4，=，

10a2=16，a2=，

b2=，

∴标准方程为：=1，

（2）∵经过点（3，-2），且一条渐近线的倾斜角为；

∴可判断焦点在y轴上，双曲线的标准方程：=1，

∴=1，=，

a=1，b=，

∴标准方程：y2=1，

（3）∵焦点在x轴上，过点P（4，-3），且Q（0，5）与两焦点连线互相垂直；

∴-=1，c=5，a2+b2=c2，

∴a4-66a2+32×25=0，a2=50（舍去），a2=16，b2=9，

∴方程为：=1，

（4）∵离心率e=，经过点P（-5，3）；

∴焦点在x轴上的等轴双曲线，-=1

∴=1，a2=16，

x2-y2=16，

（5）设-=1

∵椭圆+=1的长轴的端点（-2，0）（2，0），焦点为（-2，0）（2，0）

∴c=2，a=2，b=4，

∴=1，

1

题型：简答题

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简答题

已知双曲线-=1的一条渐近线为y=x，右焦点F到x=的距离为，求双曲线的方程．

正确答案

解：由题意，，

∴a=2，c=4，b=2，

∴双曲线的方程为．

解析

解：由题意，，

∴a=2，c=4，b=2，

∴双曲线的方程为．

1

题型：单选题

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单选题

双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为（　　）

A2

B

C3

D2

正确答案

D

解析

解：由题得：其焦点坐标为（±4，0）．渐近线方程为y=±x

所以焦点到其渐近线的距离d==2．

故选：D．

1

题型：填空题

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填空题

与双曲线x2-=1有相同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线的标准方程是______．

正确答案

-=1

解析

解：∵与双曲线x2-=1有相同的渐近线，

∴设双曲线方程为x2-=λ（λ≠0），

将（2，2）代入，可得=λ，

∴λ=2，

∴所求双曲线的标准方程是-=1．

故答案为：-=1．

1

题型：单选题

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单选题

已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：因为抛物线y2=24x的准线方程为x=-6，

则由题意知，点F（-6，0）是双曲线的左焦点，

所以a2+b2=c2=36，

又双曲线的一条渐近线方程是y=x，

所以，

解得a2=9，b2=27，

所以双曲线的方程为．

故选B．

1

题型：单选题

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单选题

（2015秋•抚州期末）过双曲线左焦点F1且倾斜角为45°的直线交双曲线右支于点P，若线段PF1的中点Q落在y轴上，则此双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：设F1（-c，0），P（x0，y0），

依题意，直线PF1的方程为：y=x+c，

设直线PF1与y轴的交点为M（0，m），

∵M为线段PF1的中点，

∴=0，m=．

∴x0=c，

∴y0=x0+c=2c，m=c．

∵△MF1O为直角三角形，∠PF1O=45°，

∴|MF1|=|OM|=c；

又M为线段PF1的中点，O为F1F2的中点，

∴OM为直角三角形PF1F2的中位线，

∴|PF1|=2c，|PF2|=2c，

∴2a=|PF1|-|PF2|=（2-2）c，

∴其离心率e==1+．

故选：D．

1

题型：简答题

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简答题

已知双曲线过点（-1，0），离心率为2，过双曲线的左焦点F1作倾斜角为的弦AB．求△F2AB的周长．

正确答案

解：设双曲线的方程为-=1，

由题意可得a=1，e==2，即c=2，

b==，

即有双曲线的方程为x2-=1，

过左焦点F1（-2，0）作倾斜角为的弦AB，

设方程为y=x+2，

代入双曲线方程可得，2x2-4x-7=0，

解得x=1±，

可得A（1+，3+），B（1-，3-），F2（2，0），

则有△F2AB的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=+

+=6++，

可令+=t，则t2=38+2=72，

即有△F2AB的周长为6+6

解析

解：设双曲线的方程为-=1，

由题意可得a=1，e==2，即c=2，

b==，

即有双曲线的方程为x2-=1，

过左焦点F1（-2，0）作倾斜角为的弦AB，

设方程为y=x+2，

代入双曲线方程可得，2x2-4x-7=0，

解得x=1±，

可得A（1+，3+），B（1-，3-），F2（2，0），

则有△F2AB的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=+

+=6++，

可令+=t，则t2=38+2=72，

即有△F2AB的周长为6+6

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