- 圆锥曲线与方程
- 共4501题
已知双曲线以两坐标轴为对称轴，点（
正确答案
解：若焦点在x轴上，设双曲线的方程为
则渐近线方程为y=±
由题意可得
又a2+b2=c2，
解得a=4，b=3，c=5，
即有双曲线的标准方程为
若焦点在y轴上，设双曲线的方程为
则渐近线方程为y=±
由题意可得
又a'2+b'2=c'2，
解得a'=4，b'=
即有双曲线的标准方程为
综上可得，双曲线的方程为
解析
解：若焦点在x轴上，设双曲线的方程为
则渐近线方程为y=±
由题意可得
又a2+b2=c2，
解得a=4，b=3，c=5，
即有双曲线的标准方程为
若焦点在y轴上，设双曲线的方程为
则渐近线方程为y=±
由题意可得
又a'2+b'2=c'2，
解得a'=4，b'=
即有双曲线的标准方程为
综上可得，双曲线的方程为
若双曲线C与
（1）求双曲线C的方程；
（2）如果过点A（3，0）的直线l与双曲线C只有一个交点，求直线l的方程．
正确答案
解：（1）设双曲线方程为
∵双曲线C与
∴-6λ-2λ=16-4，
∴
∴双曲线C的方程为
（2）斜率不存在时，直线x=3满足题意；
斜率存在时，设方程为y=k（x-3），代入双曲线方程，整理可得
（1-3k2）x2+18k2x-27k2-9=0，
1-3k2=0时，k=±
1-3k2≠0时，△=（18k2）2-4（1-3k2）（-27k2-9）=36＞0，
∴直线l的方程为x=3或y=±
解析
解：（1）设双曲线方程为
∵双曲线C与
∴-6λ-2λ=16-4，
∴
∴双曲线C的方程为
（2）斜率不存在时，直线x=3满足题意；
斜率存在时，设方程为y=k（x-3），代入双曲线方程，整理可得
（1-3k2）x2+18k2x-27k2-9=0，
1-3k2=0时，k=±
1-3k2≠0时，△=（18k2）2-4（1-3k2）（-27k2-9）=36＞0，
∴直线l的方程为x=3或y=±
已知双曲线
正确答案
解析
解：设经过一、三象限的渐近线与实轴所成的角为θ，则tanθ=
∴1≤
故答案为：
已知A，B，P是双曲线
正确答案
解析
解：由题意，设A（x1，y1），P（x2，y2），则B（-x1，-y1）
∴kPA•kPB=
∵
∴两式相减可得
∵kPA•kPB=
∴
∴e2=1+
∴e=
故答案为：
已知直线x=
正确答案
解析
解：∵双曲线的方程为
∴双曲线的两渐近线为y=±
因此，可得右准线x=
设右准线x=
∵以AB为直径的圆过F，
∴AB=2GF，即
∴双曲线的离心率为e=
故答案为：
如果以原点为圆心的圆经过双曲线
A2
B
C
D
正确答案
解析
解：设双曲线焦点为F，
准线与圆的一个交点为A，与x轴交点为B．
圆被右准线分成弧长为1：2两段，
则劣弧所对圆心角为120°，
∵∠AOF=60°且AO=OF，
∴△OFA是等边三角形，
故OF=2OB，即
c=
∴
解得e=
故选C．
已知双曲线
正确答案
y=
解析
解：∵双曲线
∴
∴1+
∴
∴C的渐近线方程为y=
故答案为：y=
已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，
∵|PA|=m|PB|，
∴|PA|=m|PN|
∴
设PA的倾斜角为α，则sinα=
当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，
设直线PM的方程为y=kx-1，代入x2=4y，可得x2=4（kx-1），
即x2-4kx+4=0，
∴△=16k2-16=0，
∴k=±1，
∴P（2，1），
∴双曲线的实轴长为PA-PB=2（
∴双曲线的离心率为
故选C．
若双曲线
正确答案
16
解析
解：因为点P在右支上，
所以点P到左焦点的距离是8，
所以点P到左焦点的距离=16．
故答案为：16．
过双曲线M：x2-
A
B
C
D
正确答案
解析
解：过双曲线
若l与双曲线M的两条渐近线
联立方程组
代入消元得（b2-1）x2-2x-1=0，
∴
∴x1+x2=-2x1x2，
又|AB|=|BC|，则B为AC中点，2x1=-1+x2，
代入解得
∴b2=9，双曲线M的离心率e=
故选A．
过双曲线焦点且与实轴垂直的弦的长等于焦点到渐近线的距离，则双曲线的离心率为（ ）
A
B2
C
D
正确答案
解析
解：设双曲线的方程为
可得焦点到渐近线的距离为
∵过双曲线焦点且与实轴垂直的弦的长等于焦点到渐近线的距离，
∴
因此双曲线的离心率e=
故选：D
在直角坐标系xOy中，双曲线
正确答案
y2=2x
解析
解：根据双曲线方程可知a=1，b=
∴c=
∴左准线l的方程为x=-
对于抛物线来说
∴p=1
∴抛物线方程为y2=2x
故答案为y2=2x
已知关于x的方程x2+mx+m+n=0的两根分别为椭圆和双曲线的离心率．记分别以m，n为横、纵坐标的点A（m，n）表示的平面区域D．若函数y=loga（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为______．
正确答案
（1，3）
解析
解：构造函数f（x）=x2+mx+m+n
∵关于x的方程x2+mx+m+n=0的两根分别为椭圆和双曲线的离心率
∴方程x2+mx+m+n=0的两根，一根属于（0，1），另一根属于（1，+∞）
∴f（0）＞0，f（1）＜0，∴
∵直线m+n=0，1+2m+n=0的交点坐标为（-1，1）
∴要使函数y=loga（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D上的点，则必须满足1＜loga（-1+4）
∴loga3＞1=logaa，
∵a＞1
∴1＜a＜3
故答案为：（1，3）．
等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4
A4
B2
C
D8
正确答案
解析
解：设等轴双曲线C的方程为x2-y2=λ．（1）
∵抛物线y2=16x，2p=16，p=8，∴
∴抛物线的准线方程为x=-4．
设等轴双曲线与抛物线的准线x=-4的两个交点A（-4，y），B（-4，-y）（y＞0），
则|AB|=|y-（-y）|=2y=4
∴y=2
将x=-4，y=2
∴λ=4
∴等轴双曲线C的方程为x2-y2=4，即
∴C的实轴长为4．
故选：A
已知双曲线mx2-ny2=1（mn＞0）的渐近线方程为y=±
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵双曲线mx2-ny2=1（mn＞0）的一条渐近线方程为y=
∴
∴双曲线的离心率为e=
故选：C．
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