圆锥曲线与方程_章节学习

1

题型：单选题

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单选题

若双曲线与x2+4y2=64有相同的焦点，它的一条渐近线方程是，则双曲线的方程是（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：∵x2+4y2=64⇔+=1，

∴该椭圆的焦点在x轴，且焦点坐标为：（±4，0）；

∵双曲线与x2+4y2=64有相同的焦点，

∴该双曲线的焦点在x轴，且焦点坐标为：（±4，0），可排除B，C，D；

对于A，-=1，其焦点坐标为：（±4，0），渐近线方程为y=±x=±x，其中之一即为x+y=0，符合题意．

故选A．

1

题型：简答题

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简答题

已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，且过P，过右焦点F作两渐近线的垂线，垂足为M，N．

（1）求双曲线C的方程；

（2）求四边形OMFN的面积（O为坐标原点）．

正确答案

解：（1）因为双曲线的离心率，所以双曲线是等轴双曲线．-----------（2分）

设双曲线方程为x2-y2=a2，则

因为双曲线过点，所以有a2=4

所以双曲线方程为x2-y2=4-----------（6分）

（2）右焦点F（2，0）到渐近线y=x的距离d=|FM|=2-----------（9分）

因为四边形OMFN为正方形，

所以S四边形OMFN=2×2=4-----------（12分）

解析

解：（1）因为双曲线的离心率，所以双曲线是等轴双曲线．-----------（2分）

设双曲线方程为x2-y2=a2，则

因为双曲线过点，所以有a2=4

所以双曲线方程为x2-y2=4-----------（6分）

（2）右焦点F（2，0）到渐近线y=x的距离d=|FM|=2-----------（9分）

因为四边形OMFN为正方形，

所以S四边形OMFN=2×2=4-----------（12分）

1

题型：填空题

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填空题

以2x±3y=0为渐近线，且过点（1，2）的双曲线方程为______．

正确答案

解析

解：根据双曲线的渐近线方程为2x±3y=0，

设双曲线的方程为（2x+3y）（2x-3y）=λ（λ≠0），即4x2-9y2=λ（λ≠0），

∵点（1，2）在双曲线上，∴4×12-9×22=λ，解得λ=-32．

由此可得双曲线的方程为4x2-9y2=-32，化简得．

故答案为：

1

题型：简答题

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简答题

已知双曲线的渐近线方程为3x±4y=0，并且经过点M（1，3），求双曲线的标准方程．

正确答案

解：设双曲线方程：9x2-16y2=λ（λ≠0），

∵双曲线经过点（1，3），

∴λ=9-16×9=-135，

∴所求方程为．

解析

解：设双曲线方程：9x2-16y2=λ（λ≠0），

∵双曲线经过点（1，3），

∴λ=9-16×9=-135，

∴所求方程为．

1

题型：简答题

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简答题

已知双曲线-=1的离心率e=，一条准线方程为x=，直线l与双曲线右支及双曲线的渐近线交于A、B、C、D四点，四个点的顺序如图所示．

（1）求该双曲线的方程；

（2）求证：|AB|=|CD|．

正确答案

（1）解：∵双曲线-=1的离心率e=，一条准线方程为x=，

∴=，=，

∴a=1，c=，

∴b=1，

∴双曲线的方程为x2-y2=1；

（2）证明：设直线为x=my+n代入双曲线方程可得（m2-1）y2+6mny+n2-1=0

又双曲线的渐近线方程为x2-y2=0，直线方程代入可得（m2-1）y2+6mny+n2=0

∵直线l与双曲线右支及双曲线的渐近线交于A、B、C、D四点，

∴AD、BC的中点重合

∴|AB|=|CD|．

解析

（1）解：∵双曲线-=1的离心率e=，一条准线方程为x=，

∴=，=，

∴a=1，c=，

∴b=1，

∴双曲线的方程为x2-y2=1；

（2）证明：设直线为x=my+n代入双曲线方程可得（m2-1）y2+6mny+n2-1=0

又双曲线的渐近线方程为x2-y2=0，直线方程代入可得（m2-1）y2+6mny+n2=0

∵直线l与双曲线右支及双曲线的渐近线交于A、B、C、D四点，

∴AD、BC的中点重合

∴|AB|=|CD|．

1

题型：单选题

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单选题

过双曲线的左焦点F作圆x2+y2=a2的两条切线，切点分别为A、B，双曲线左顶点为M，若∠AMB=120°，则该双曲线的离心率为（　　）

A

B

C3

D2

正确答案

D

解析

解：依题意，作图如下：

∵OA⊥FA，∠AMO=60°，OM=OA，

∴△AMO为等边三角形，

∴OA=OM=a，

在直角三角形OAF中，OF=c，

∴该双曲线的离心率e====2，

故选：D．

1

题型：填空题

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填空题

如图，F1、F2为双曲线的焦点，A、B为双曲线的顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M、N两点，且满足∠MAB=30°，则该双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：由题意可知，圆的方程为x2+y2=c2，双曲线的渐近线方程为y=，

将其代入圆的方程得M（a，b），N（-a，-b）．因为∠BAM=30°．

连接MB，在Rt△MAB中，tan∠BAM===，

，

所以e===．

故答案为：．

1

题型：简答题

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简答题

已知以原点O为中心，F（，0）为右焦点的双曲线C的离心率e=．求双曲线C的标准方程及其渐近线方程．

正确答案

解：由题意，双曲线的焦点在x轴上，c=，=，

∴a=2，b=1，

∴双曲线C的标准方程为，其渐近线方程为y=±x．

解析

解：由题意，双曲线的焦点在x轴上，c=，=，

∴a=2，b=1，

∴双曲线C的标准方程为，其渐近线方程为y=±x．

1

题型：单选题

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单选题

设F是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，点A、B分别在双曲线的两条渐近线上，AF⊥x轴，BF⊥x轴，BF∥OA，•=0，则该双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：由题意，设kOB=-，

∵•=0，∴kAB=，

直线FB的方程为y=（x-c），

联立，解得B（，-），

∵A（c，），

∴kAB==，

∴b2=a2，

∴c2=a2+b2=a2，

∴e==，

故选：D．

1

题型：单选题

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单选题

已知双曲线Γ：-=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，以原点为圆心，OF为半径的圆分别与双曲线Γ的一条渐近线及双曲线Γ交于M、N两点（其中M、N均为第一象限上的点），当MF∥ON时，双曲线Γ的离心离一定在区间（　　）

A（1，）

B（，）

C（，）

D（，2）

正确答案

A

解析

解：双曲线Γ：-=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（-c，0），

一条渐近线方程为y=x，

以原点为圆心，OF为半径的圆为x2+y2=c2，

联立渐近线方程和圆的方程，可得M（a，b），

MF的斜率为k=，

由MF∥ON，可得ON的斜率为，

即有直线ON：y=x．

联立圆的方程和双曲线方程，可得N（，），

即有=•，

化简可得c3+2ac2-2a2c-2a3=0，

由e=可得，

e3+2e2-2e-2=0，

令f（x）=x3+2x2-2x-2，

f（1）=-1＜0，f（）=＞0，

则f（1）f（）＜0，

由零点存在定理可得，e∈（1，）．

故选：A．

1

题型：单选题

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单选题

双曲线-y2=1的渐近线与抛物线x2=y的准线围成的封闭图形的面积为（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：抛物线x2=y的准线为y=-，

双曲线-y2=1的渐近线方程为：y=±x，

这三条直线构成三角形面积等于=

故选A．

1

题型：填空题

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填空题

（2015秋•长春校级期末）若 A，B是双曲线上两个动点，且，则△AOB面积的最小值是______．

正确答案

解析

解：设直线OA的方程为y=kx，则直线OB的方程为y=-x，

设点A（x1，y1），y=kx与双曲线方程联立，可得x12=，y12=，

∴|OA|2=x12+y12=，

同理|OB|2=，

故|OA|2•|OB|2=

∵=≤（当且仅当k=±1时，取等号）

∴|OA|2•|OB|2≥9，又b＞a＞0，

故S△AOB=|OA||OB|的最小值为．

故答案为：．

1

题型：单选题

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单选题

已知双曲线与椭圆共顶点，且焦距是6，此双曲线的渐近线是（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：∵双曲线与椭圆共顶点，

∴双曲线的顶点坐标为（0，±），即a=，

∵焦距是6，

∴2c=6，

∴c=3，

∴=2，

∴双曲线的渐近线方程是y=±x．

故选B．

1

题型：填空题

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填空题

P是双曲线-=1（a＞b＞0）上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且•=0，若△F1PF2的面积为9，则a+b=______．

正确答案

7

解析

解：∵=

∴c=a，b=b==a

∵•=0，

∴∠F1PF2=90°，

∴|F1P|2+|PF2|2=4c2，

∵△F1PF2的面积为|F1P|•|PF2|=9

∴|F1P|•|PF2|=18

∴（|F1P|-|PF2|）2=|F1P|2+|PF2|2-2|F1P|•|PF2|=4c2-36=4a2，

∴c2-a2=9

∴b==3

∴a=b=4

∴a+b=7

故答案为：7

1

题型：简答题

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简答题

如图，已知双曲线的右准线交x轴于A，虚轴的下端点为B，过双曲线的右焦点F（c，0）作垂直于x轴的直线交双曲线于P，过点A、B的直线与FP相交于点D，且（O为坐标原点）．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）若a=2，过点（0，-2）的直线l交该双曲线于不同两点M、N，求的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）点A、B、P、F的坐标分别为，B（0，-b），，F（c，0），

直线AB的方程为，令x=c，则，知，

∵，∴，则，∴a=2b，

∴．

（Ⅱ）∵a=2，∴b=1，双曲线的方程是，知直线l的斜率存在，

设直线l方程为y=kx-2，联立方程组

得（1-4k2）x2+16kx-20=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），

由解得且．

∴，．=，

∵且，∴，

则的范围是．

解析

解：（Ⅰ）点A、B、P、F的坐标分别为，B（0，-b），，F（c，0），

直线AB的方程为，令x=c，则，知，

∵，∴，则，∴a=2b，

∴．

（Ⅱ）∵a=2，∴b=1，双曲线的方程是，知直线l的斜率存在，

设直线l方程为y=kx-2，联立方程组

得（1-4k2）x2+16kx-20=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），

由解得且．

∴，．=，

∵且，∴，

则的范围是．

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