圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题

（2013•上海校级模拟）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若点P在双曲线上，且，则=______．

正确答案

解析

解：由题意知，a=1，b=3，∴c=，F1（-，0），F2（，0），

∵P在双曲线上，且，∴PF1⊥PF2，∴|pF1|2+|PF2|2=（2c）2=40，

所求式子是个非负数，所求式子的平方为：

∴|pF1|2+|PF2|2-2 •=40-0=40，

则=2，

故答案为2．

1

题型：简答题

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简答题

已知焦点F1（5，0），F2（-5，0），双曲线上的一点P到F1，F2的距离差的绝对值等于6，双曲线的标准方程为______．

正确答案

解：依题意可知双曲线的c=5，

根据双曲线定义及可知2a=6，a=3，

∴b==4

∴双曲线的方程为

故答案为：．

解析

解：依题意可知双曲线的c=5，

根据双曲线定义及可知2a=6，a=3，

∴b==4

∴双曲线的方程为

故答案为：．

1

题型：单选题

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单选题

已知F为双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点，定点A为双曲线虚轴的一个顶点，过F，A的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若=（-1），则此双曲线的离心率是（　　）

A

B

C2

D

正确答案

A

解析

解：设F（c，0），A（0，-b），渐近线方程为y=x，则

直线AF的方程为=1，与y=x联立可得B（，），

∵=（-1），

∴（-c，-b）=（-1）（，+b），

∴-c=（-1），

∴e==，

故选：A．

1

题型：单选题

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单选题

抛物线x2=16y的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积是（　　）

A16

B8

C4

D2

正确答案

A

解析

解：抛物线x2=16y的准线方程为y=-4，双曲线的两条渐近线方程为y=±

∴抛物线的准线与双曲线的两条渐近线的交点坐标为（±4，-4）

∴抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积是=16

故选A．

1

题型：简答题

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简答题

过点（0，2）的直线L与双曲线x2-y2=2相交于不同两点E，F．若△OEF的面积不小于2．求直线L的斜率的取值范围．

正确答案

解：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，

得（1-k2）x2-4kx-6=0．①

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴1-k2≠0，△＞0，

∴k∈（-，）且k≠±1．②

设E（x1，y1），F（x2，y2），则由①式得

|x1-x2|=．③

当E、F在同一支上时

S△OEF=|S△ODF-S△ODE|=|OD|•||x1|-|x2||=|OD|•|x1-x2|；

当E、F在不同支上时

S△OEF=S△ODF+S△ODE=|OD|•（|x1|+|x2|）=|OD|•|x1-x2|．

综上得S△OEF=|OD||x1-x2|，于是由|OD|=2及③式，

得S△OEF=．

若△OEF面积不小于2，则有≥2⇔k2≤2，解得-≤k≤．④

综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为-≤k≤且k≠±1．

解析

解：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，

得（1-k2）x2-4kx-6=0．①

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴1-k2≠0，△＞0，

∴k∈（-，）且k≠±1．②

设E（x1，y1），F（x2，y2），则由①式得

|x1-x2|=．③

当E、F在同一支上时

S△OEF=|S△ODF-S△ODE|=|OD|•||x1|-|x2||=|OD|•|x1-x2|；

当E、F在不同支上时

S△OEF=S△ODF+S△ODE=|OD|•（|x1|+|x2|）=|OD|•|x1-x2|．

综上得S△OEF=|OD||x1-x2|，于是由|OD|=2及③式，

得S△OEF=．

若△OEF面积不小于2，则有≥2⇔k2≤2，解得-≤k≤．④

综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为-≤k≤且k≠±1．

1

题型：单选题

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单选题

（2012春•杭州期中）若双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则椭圆=1的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，

即为=，

即有b=a，

则椭圆=1的离心率为=

=．

故选C．

1

题型：简答题

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简答题

已知=（x，0），=（1，y），（+）⊥（-）．

（1）求点P（x，y）的轨迹C的方程；

（2）若直线l：y=kx-1与曲线C交于A、B两点，并且A、B在y轴的异侧，求实数k的取值范围．

正确答案

解：（1）由，

又

∴，

故所求的轨迹方程是3x2-y2=1；

（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），把y=kx-1代入3x2-y2=1，得，

∵A、B在y轴的异侧，∴x1x2＜0，得到，

综上，得．

解析

解：（1）由，

又

∴，

故所求的轨迹方程是3x2-y2=1；

（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），把y=kx-1代入3x2-y2=1，得，

∵A、B在y轴的异侧，∴x1x2＜0，得到，

综上，得．

1

题型：填空题

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填空题

双曲线=1的右焦点坐标为______．

正确答案

解析

解：由双曲线的方程可知，a2=25，b2=9，

则c2=a2+b2=34，即c=，

故双曲线的右焦点的坐标为．

故答案为：．

1

题型：单选题

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单选题

设F1，F2是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，的值为（　　）

A2

B3

C4

D6

正确答案

B

解析

解：双曲线的两个焦点坐标为F1（-2，0），F2（2，0）

设P的坐标为（x，y），则

∵△F1PF2的面积为2

∴

∴|y|=1，代入双曲线方程解得|x|=

∴=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x2-4+y2=3

故选B．

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题型：简答题

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简答题

已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件．记动点P的轨迹为W．

（Ⅰ）求W的方程；

（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值．

正确答案

解：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，

所求方程为：（x＞0）

（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=x0，

此时A（x0，），

B（x0，-），=2

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b，

代入双曲线方程中，得：

（1-k2）x2-2kbx-b2-2=01°

依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

解得|k|＞1又=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+b）（kx2+b）

=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2=＞2

综上可知的最小值为2．

解析

解：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，

所求方程为：（x＞0）

（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=x0，

此时A（x0，），

B（x0，-），=2

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b，

代入双曲线方程中，得：

（1-k2）x2-2kbx-b2-2=01°

依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

解得|k|＞1又=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+b）（kx2+b）

=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2=＞2

综上可知的最小值为2．

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题型：单选题

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单选题

以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（　　）

Ax2-y2=2

By2-x2=2

Cx2-y2=4或y2-x2=4

Dx2-y2=2或y2-x2=2

正确答案

D

解析

解：若双曲线的焦点在x轴上，设其方程为，

因为它的渐近线方程为y=±x，准线方程为x=，

所以，解得a2=b2=2，

所以焦点在x轴上的双曲线的方程为；

同理设焦点在y轴上的双曲线的方程为，

则，解得a2=b2=2，

所以焦点在y轴上的双曲线的方程为．

因此满足要求的双曲线的方程为或．

故选D．

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题型：填空题

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填空题

设双曲线C经过点（2，2），且与-x2=1具有相同渐近线，则C的方程为______；渐近线方程为______．

正确答案

y=±2x

解析

解：与-x2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为-x2=m，（m≠0），

∵双曲线C经过点（2，2），

∴m=，

即双曲线方程为-x2=-3，即，

对应的渐近线方程为y=±2x，

故答案为：，y=±2x．

1

题型：单选题

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单选题

已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且|PF2|=|F1F2|，则等于（　　）

A24

B48

C50

D56

正确答案

C

解析

解：根据双曲线方程，

得a2=4，b2=5，c==3，所以双曲线的焦点分别为F1（-3，0）、F2（3，0），

设点P的坐标为（m，n），其中m＞2，则

∵点P在双曲线上，且|PF2|=|F1F2|，

∴，解之得m=，n=±

∵=（-3-m，-n），=（3-m，-n）

∴=（-3-m）（3-m）+（-n）（-n）=m2-9+n2=-9+=50

故选C

1

题型：单选题

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单选题

（2016•北海一模）设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：∵P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，

∴点P到原点的距离|PO|=，

∴∠F1PF2=90°，

∵|PF1|=2|PF2|，

∴|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，

∴16a2+4a2=4c2，

∴c=a，

∴．

故选A．

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题型：简答题

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简答题

求满足下列条件的双曲线的标准方程：

（1）焦点为F1（-，0），F2（，0），a+b=5

（2）焦点在y轴上，焦距为8，且经过点M（2，-6）

正确答案

解：（1）由题意，a2+b2=13，

∵a+b=5，

∴a=3，b=2或a=2，b=3，

∴双曲线的标准方程为=1或=1；

（2）焦点为F1（0，4），F2（0，-4），

∴||MF1|-|MF2||=|-|=2a，

∴a=2，

∴b=2，

∴∴双曲线的标准方程为=1．

解析

解：（1）由题意，a2+b2=13，

∵a+b=5，

∴a=3，b=2或a=2，b=3，

∴双曲线的标准方程为=1或=1；

（2）焦点为F1（0，4），F2（0，-4），

∴||MF1|-|MF2||=|-|=2a，

∴a=2，

∴b=2，

∴∴双曲线的标准方程为=1．

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