圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线x2-，过点P（2，4）的直线l与双曲线有且仅有一个公共点，则这样的直线l共有．（　　）

A0条

B2条

C3条

D4条

正确答案

B

解析

解：双曲线x2-的渐近线方程为y=±2x，

∴点P（2，4）在双曲线的渐近线y=2x上，

∴可过P点作双曲线的一条切线，和一条平行于渐近线y=-2x的直线，

这两条直线与双曲线均只有一个公共点，

故选B．

1

题型：单选题

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单选题

设双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于点M、N，若=0，cos∠F1MF2=，则该双曲线的离心率为（　　）

A

B

C2+

D

正确答案

C

解析

解：由题设知，

∵，∴|MF1|=，

∵cos∠F1MF2=，∴，

∴，

∴．

故选C．

1

题型：简答题

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简答题

已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的左、右焦点分别记为F1、F2，若P为双曲线的渐近线上一点，若|+|=|-|，且||=a（a为实轴长），求双曲线的离心率．

正确答案

解：若|+|=|-|，

则（+）2=（-）2，

化简可得•=0，

即有P在以F1F2为直径的圆上，

设P（m，n），双曲线的方程为-=1，

焦点F1（-c，0），F2（c，0），

联立圆x2+y2=c2，和渐近线方程为y=x，

解方程不妨设P（a，b），

由||=a，即为（a-c）2+b2=a2，

由a2+b2=c2，e=＞1，

化简可得2e2-2e-1=0，

解得e=，

故双曲线的离心率为．

解析

解：若|+|=|-|，

则（+）2=（-）2，

化简可得•=0，

即有P在以F1F2为直径的圆上，

设P（m，n），双曲线的方程为-=1，

焦点F1（-c，0），F2（c，0），

联立圆x2+y2=c2，和渐近线方程为y=x，

解方程不妨设P（a，b），

由||=a，即为（a-c）2+b2=a2，

由a2+b2=c2，e=＞1，

化简可得2e2-2e-1=0，

解得e=，

故双曲线的离心率为．

1

题型：单选题

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单选题

双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（　　）

A

B

C1

D

正确答案

B

解析

解：双曲线x2-y2=1的顶点坐标（1，0），其渐近线方程为y=±x，

所以所求的距离为=．

故选B．

1

题型：填空题

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填空题

已知双曲线C与双曲线=1有相同的渐近线，且过点A（，-3），则双曲线C的标准方程是______．

正确答案

解析

解：由于双曲线C与双曲线有=1相同的渐近线，

则可设C的方程是=λ（λ≠0），

又过点A（，-3），则λ=-8，

即C的方程是．

故答案为：．

1

题型：单选题

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单选题

已知F1，F2是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（　　）

A4+2

B+1

C-1

D

正确答案

B

解析

解：已知F1，F2是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，

则：设|F1F2|=2c

进一步解得：|MF1|=c，

利用双曲线的定义关系式：|MF2|-|MF1|=2a

两边平方解得：

故选：B

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为3x+4y=0，则双曲线离心率e=（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：∵双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为3x+4y=0，

∴b=a，

∴c==a，

∴e==．

故选：A．

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题型：简答题

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简答题

过双曲线x2-y2=1的右焦点F作倾斜角为60°的直线l，交双曲线于A、B两点．

（1）求双曲线的离心率和渐近线；

（2）求|AB|．

正确答案

解：（1）双曲线x2-y2=1中a=b=1，∴c=，

∴，y=±x

（2）AB的斜率为tan60°=，又双曲线x2-y2=1的右焦点F（，0），

故AB的方程为y-0=（x-），代入双曲线x2-y2=1的方程化简可得2x2+6x-7=0，

∴x1+x2=-3，x1x2=-，

∴|AB|=|x1-x2|=2=8．

解析

解：（1）双曲线x2-y2=1中a=b=1，∴c=，

∴，y=±x

（2）AB的斜率为tan60°=，又双曲线x2-y2=1的右焦点F（，0），

故AB的方程为y-0=（x-），代入双曲线x2-y2=1的方程化简可得2x2+6x-7=0，

∴x1+x2=-3，x1x2=-，

∴|AB|=|x1-x2|=2=8．

1

题型：单选题

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单选题

经过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线与A，B两点，交双曲线的渐近线于P，Q两点，若|PQ|=2|AB|，则双曲线的离心率是（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：不妨设双曲线的方程为，

令x=c，解得，y=±，

∴|AB|=2，

又∵双曲线的渐近线方程为y=±x，

令x=c，解得，y=±c，

∴|PQ|=2c，

又∵|PQ|=2|AB|，

∴2c=4，即c=2b，

∴a=，

∴e===，

故选D．

1

题型：单选题

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单选题

（2015秋•汕尾月考）己知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左右焦点为F1，F2，点A在其右半支上，若•=0，若∠AF1F2∈（0，），则该双曲线的离心率e的取值范围为（　　）

A（1，）

B（1，）

C（，）

D（，）

正确答案

A

解析

解：设∠AF1F2=θ，则

由题意，|AF2|=2csinθ，|AF1|=2ccosθ，

∵点A在其右半支上，

∴2ccosθ-2csinθ=2a，

∴e===，

∵∠AF1F2∈（0，），

∴θ+∈（，），

∴cos（θ+）∈（，），

∴cos（θ+）∈（，1），

∴e∈（1，），

故选：A．

1

题型：单选题

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单选题

以双曲线的焦点为圆心，实轴长为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D2

正确答案

B

解析

解：设双曲线的焦点为（c，0），实轴长为2a，

即有圆心为（c，0），半径为2a，

设渐近线方程为y=x，

由于圆与双曲线的渐近线相切，

则=2a，

化简得，b=2a，则c2=a2+b2=5a2，

则离心率为=．

故选B．

1

题型：填空题

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填空题

双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于______．

正确答案

6

解析

解：∵设双曲线的左右焦点分别为F1，F2，∴a=1，b=4，

则||PF1|-|PF2||=2，

∵双曲线双曲线上一点P到一个焦点的距离为4，不妨令|PF2|=4，

则||PF1|-4|=2，

∴|PF1|=2或|PF1|=6．

∵c=，∴|PF1|＞2，∴|PF1|=2（舍去），

∴点P到另一个焦点的距离等于6．

故答案为：6．（填“6或2”给（3分），其他给0分）

1

题型：单选题

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单选题

过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：不妨设A（c，y0），代入双曲线=1，可得y0=±．

∵线段AB的长度恰等于焦距，

∴，

∴c2-a2=ac，

∴e2-e-1=0，

∵e＞1，

∴e=．

故选：A．

1

题型：填空题

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填空题

双曲线的两条渐近线方程为______．

正确答案

解析

解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上

而双曲线的渐近线方程为y=±x

∴双曲线的渐近线方程为

故答案为：

1

题型：单选题

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单选题

下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（　　）

A

B-y2=1

Cx2-=1

D-y2=1

正确答案

A

解析

解：A，曲线方程是：，其渐近线方程是=0，整理得y=±2x．正确；

B，曲线方程是：-y2=1，其渐近线方程是-y2=0，整理得y=±x．错误；

C，曲线方程是：x2-=1，其渐近线方程是x2-=0，整理得y=±x．错误；

D，曲线方程是：-y2=1，其渐近线方程是-y2=0，整理得y=±x．错误；

故选：A．

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