- 圆锥曲线与方程
- 共4501题
设命题p：函数f（x）=lg（ax2-x+
（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；
（2）如果命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题．求实数a的取值范围．
正确答案
解：（1）由题意ax2-x+
当a=0时，不符题意，舍去；
当a≠0时，则
解得：a＞2．
∴实数a的取值范围是a＞2；
（2）由双曲线：
∴e2=
∵离心率e∈（1，2），
∴1＜
∴0＜a＜15．
∴a的取值范围为（0，15）．
p真q假时，a≥15，p假p真时，则0＜a≤2，
综上，0＜a≤2或a≥15．
解析
解：（1）由题意ax2-x+
当a=0时，不符题意，舍去；
当a≠0时，则
解得：a＞2．
∴实数a的取值范围是a＞2；
（2）由双曲线：
∴e2=
∵离心率e∈（1，2），
∴1＜
∴0＜a＜15．
∴a的取值范围为（0，15）．
p真q假时，a≥15，p假p真时，则0＜a≤2，
综上，0＜a≤2或a≥15．
已知关于x，y的方程 
正确答案
（
解析
解：关于x，y的方程 
即
则
上式右边表示动点P（x，y）到定点F（1，8）的距离与定直线l：x+2y-5=0（F∉l）的距离之比，
由于方程表示双曲线，则
解得，m＞
故答案为：（
若双曲线
A2
B
C
D2
正确答案
解析
解：∵双曲线 
∴解得：m=5，
∴双曲线的焦点坐标为：（-
所以根据距离公式可得：焦点F到渐近线的距离=
故选C．
在正△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则以B、C为焦点且过点D、E的双曲线的离心率为______．
正确答案
解析
解：以BC为横轴，BC的中垂线为纵轴，设B（-2，0）C（2，0）
则A（0，2
∵椭圆与双曲线均过D，E∴2a=BE-CE=2（
∴e=
故答案为
双曲线
正确答案
解析
解：设点P（x，y），
∵F1（-5，0）、F2（5，0），PF1⊥PF2，∴
∴x2+y2=25 ①，
又
∴
∴y2=
∴|y|=
∴P到x轴的距离是
设F1，F2是双曲线
A2
B2
C4
D8
正确答案
解析
解：由已知
即
得
故选A．
已知双曲线
正确答案
解析
解：∵抛物线y2=4x的焦点（1，0）和双曲线的焦点相同，
∴c=1
∵A是它们的一个公共点，且AF垂直于x轴，
设A点的纵坐标大于0，
∴|AF|=2，
∴A（1，2），
∵点A在双曲线上，
∴
∵c=1，b2=c2-a2
∴a=
∴e=
故答案为：1+
已知有相同两焦点F1、F2的椭圆
A
B
C1
D2
正确答案
解析
解：如图所示，
由双曲线和椭圆的定义可得
解得
在△PF1F2中，cos∠F1PF2=
∵m-1=n+1，
∴m-n=2，
∴cos∠F1PF2=0，∴∠F1PF2=90°．
∴△F1PF2面积为
故选C．
已知两点M（-2，0），N（2，0），动点P（x，y）在y轴上的射影为H，
（I）求动点P的轨迹方程；
（II）若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程．
正确答案
解：（I）M（-2，0），N（2，0），设动点P的坐标为（x，y），所以H（0，y），
所以
∴
∵
∴
∴x2=2（x2-4+y2）
∴
（II）若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，且Q在右支上，N（2，0）关于直线x+y=1的对称点为E（1，-1），则|QE|=|QN|
∴双曲线C的实轴长2a=||QM|-|QN||=||QM|-|QE||≤|ME|=
同理若Q在左支上，双曲线C的实轴长为2a，最大为
∴双曲线C的实半轴长为
∵
∴
∴实轴最长的双曲线C的方程为
解析
解：（I）M（-2，0），N（2，0），设动点P的坐标为（x，y），所以H（0，y），
所以
∴
∵
∴
∴x2=2（x2-4+y2）
∴
（II）若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，且Q在右支上，N（2，0）关于直线x+y=1的对称点为E（1，-1），则|QE|=|QN|
∴双曲线C的实轴长2a=||QM|-|QN||=||QM|-|QE||≤|ME|=
同理若Q在左支上，双曲线C的实轴长为2a，最大为
∴双曲线C的实半轴长为
∵
∴
∴实轴最长的双曲线C的方程为
已知抛物线y2=2px（p＞0）焦点F恰好是双曲线
正确答案
y=
解析
解：依题意可知
∴
∴双曲线的渐近线方程为y=±
故答案为：y=±
已知双曲线C：
（1）求双曲线C的方程；
（2）设经过焦点F2的直线l的一个法向量为（m，1），当直线l与双曲线C的右支相交于A，B不同的两点时，求实数m的取值范围；并证明AB中点M在曲线3（x-1）2-y2=3上．
（3）设（2）中直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，问是否存在实数m，使得∠AOB为锐角？若存在，请求出m的范围；若不存在，请说明理由．
正确答案
解：（1）c=2c2=a2+b2∴4=a2+3a2∴a2=1，b2=3，∴双曲线为
（2）l：m（x-2）+y=0由
由△＞0得4m4+（3-m2）（4m2+3）＞012m2+9-3m2＞0即m2+1＞0恒成立
∴m2＞3∴
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
∴
∵
∴M在曲线3（x-1）2-y2=3上．
（3）A（x1，y1），B（x2，y2），设存在实数m，使∠AOB为锐角，
∴x1x2+y1y2＞0
因为y1y2=（-mx1+2m）（-mx2+2m）=m2x1x2-2m2（x1+x2）+4m2∴（1+m2）x1x2-2m2（x1+x2）+4m2＞0
∴（1+m2）（4m2+3）-8m4+4m2（m2-3）＞0即7m2+3-12m2＞0
∴
∴不存在
解析
解：（1）c=2c2=a2+b2∴4=a2+3a2∴a2=1，b2=3，∴双曲线为
（2）l：m（x-2）+y=0由
由△＞0得4m4+（3-m2）（4m2+3）＞012m2+9-3m2＞0即m2+1＞0恒成立
∴m2＞3∴
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
∴
∵
∴M在曲线3（x-1）2-y2=3上．
（3）A（x1，y1），B（x2，y2），设存在实数m，使∠AOB为锐角，
∴x1x2+y1y2＞0
因为y1y2=（-mx1+2m）（-mx2+2m）=m2x1x2-2m2（x1+x2）+4m2∴（1+m2）x1x2-2m2（x1+x2）+4m2＞0
∴（1+m2）（4m2+3）-8m4+4m2（m2-3）＞0即7m2+3-12m2＞0
∴
∴不存在
以双曲线
正确答案
∴
即FM=
又∵△FMD∽△FAP，
∴
∴FP=
A（a，0），
∴r=
又∵FA2=FP2+PA2，
∴（a+c）2=
即3e4-5e3-8=（e+1）（e-2）（3e2-2e+4）=0，
解得，e=-1（舍去）或e=2；
故双曲线的离心率为2．
解析
∴
即FM=
又∵△FMD∽△FAP，
∴
∴FP=
A（a，0），
∴r=
又∵FA2=FP2+PA2，
∴（a+c）2=
即3e4-5e3-8=（e+1）（e-2）（3e2-2e+4）=0，
解得，e=-1（舍去）或e=2；
故双曲线的离心率为2．
与椭圆
Ax2-
B
C
D
正确答案
解析
解：椭圆
即有双曲线的c=2，
双曲线的方程设为
即有a2+b2=4，
椭圆的离心率为
由离心率互为倒数，则双曲线的离心率为2，
即有c=2a，
解得a=1，b=
则双曲线的方程为x2-
故选：A．
已知双曲线
A
B
C
D
正确答案
解析
解：双曲线
双曲线的离心率为：
∴
故选：B．
求下列双曲线的标准方程：
（1）经过两点（-4，0）、（4
（2）与双曲线
正确答案
解：（1）设双曲线方程为mx2-ny2=1，
∵双曲线经过两点（-4，0）、（4
∴16m=1，32m-4n=1，
∴m=
∴双曲线方程为
（2）设双曲线方程为
∵过点（2
∴
∴λ=-2，
∴双曲线方程为
解析
解：（1）设双曲线方程为mx2-ny2=1，
∵双曲线经过两点（-4，0）、（4
∴16m=1，32m-4n=1，
∴m=
∴双曲线方程为
（2）设双曲线方程为
∵过点（2
∴
∴λ=-2，
∴双曲线方程为
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