- 圆锥曲线与方程
- 共4501题
双曲线的渐近线方程为2x±y=0，两顶点间的距离为4，则双曲线的方程为______．
正确答案
解析
解：由题意2a=4，∴a=2，
当焦点在x轴上时，∵双曲线的渐近线方程为y=±2x，∴
∴方程为
当焦点在y轴上时，∵双曲线的渐近线方程为y=±2x，∴
∴方程为
故答案为：
已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率e=
（1）求该双曲线方程．
（2）是否定存在过点P（1，1）的直线l与该双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？若存在，请求出直线l的方程，若不存在，说明理由．
正确答案
解：（1）设双曲线方程为：
由离心率e=
则双曲线方程为：x2-
（2）假设存在过点P（1，1）的直线l与该双曲线交于A，B两点，
且点P是线段AB的中点．
设过P（1，1）的直线方程为：y-1=k（x-1），
A，B两点的坐标为（x1，y1），（x2，y2），
则2x12-y12=2，2x22-y22=2，
相减可得，2（x1-x2）（x1+x2）=（y1-y2）（y1+y2）
由P为AB的中点，则x1+x2=2，y1+y2=2，
则k=
即有直线AB的方程：y-1=2（x-1），即有y=2x-1，
代入双曲线方程2x2-y2=2，可得，2x2-4x+3=0，
检验判别式为16-24＜0，方程无解．
故不存在过点P（1，1）的直线l与该双曲线交于A，B两点，
且点P是线段AB的中点．
解析
解：（1）设双曲线方程为：
由离心率e=
则双曲线方程为：x2-
（2）假设存在过点P（1，1）的直线l与该双曲线交于A，B两点，
且点P是线段AB的中点．
设过P（1，1）的直线方程为：y-1=k（x-1），
A，B两点的坐标为（x1，y1），（x2，y2），
则2x12-y12=2，2x22-y22=2，
相减可得，2（x1-x2）（x1+x2）=（y1-y2）（y1+y2）
由P为AB的中点，则x1+x2=2，y1+y2=2，
则k=
即有直线AB的方程：y-1=2（x-1），即有y=2x-1，
代入双曲线方程2x2-y2=2，可得，2x2-4x+3=0，
检验判别式为16-24＜0，方程无解．
故不存在过点P（1，1）的直线l与该双曲线交于A，B两点，
且点P是线段AB的中点．
（2015秋•广东月考）若以双曲线
A
B1
C
D2
正确答案
解析
解：由题意，以双曲线
∴（1-c，
∴1-c2+2=0，
∴c=
∵a=
∴b=1．
故选：B．
已知F1，F2分别是双曲线
正确答案
2
解析
解：不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=
与y=-
∵点M在以线段F1F2为直径的圆上，
∴
∴
∴b=
∴
∴e=
故答案为：2．
双曲线
正确答案
3
解析
解：由题意，|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差数列可知，2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，
即4c=|PF1|+|PF2|，
由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=4，即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=16，
可得|PF1|2+|PF2|2-8c2=8…①
设∠POF1=θ，则∠POF2=π-θ，
由余弦定理可得：|PF2|2=c2+|OP|2-2|OF2||OP|cos（π-θ），|PF1|2=c2+|OP|2-2|OF1||OP|cosθ，
|PF2|2+PF1|2=2c2+2|OP|2，…②，
由①②化简得：2|OP|2=8+6c2．而8+6c2=32+6b2
因为|OP|=5，所以32+6b2=50．
所以b2=3．
故答案为：3．
（2015秋•太原期末）已知离心率e=
A
B
C
D
正确答案
解析
解：因为设经过点（0，3），离心率为
因此c=5，那么利用a，b，c关系得到b2=c2-a2=16，
∴双曲线的标准方程为
故选：D．
若方程
正确答案
解析
解：∵方程
∴k-2与3-k的符号一正一负，
①当k-2＞0且3-k＜0时，方程表示焦点在x轴的双曲线，此时k＞3；
②当k-2＜0且3-k＞0时，方程表示焦点在y轴的双曲线，此时k＜2
综上所述，实数k的取值范围是k＜2或k＞3
故选：D
某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s．已知各观测点到该中心的距离都是1020m．试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为340m/s：相关各点均在同一平面上）
正确答案
以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系．设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（-1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
设P（x，y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=-x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|-|PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线
依题意得a=680，c=1020，∴b2=c2-a2=10202-6802=5×3402
故双曲线方程为
用y=-x代入上式，得
∵|PB|＞|PA|，
∴
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心
解析
以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系．设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（-1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
设P（x，y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=-x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|-|PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线
依题意得a=680，c=1020，∴b2=c2-a2=10202-6802=5×3402
故双曲线方程为
用y=-x代入上式，得
∵|PB|＞|PA|，
∴
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心
已知双曲线C：
A
B
C
D
正确答案
解析
解：双曲线C：
∵双曲线C：
∴2c=10，2a=b，
∵c2=a2+b2
∴a2=5，b2=20
∴C的方程为
故选C．
若椭圆
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题意得椭圆
所以
所以
所以双曲线的离心率
故选B．
已知F为双曲线
A
B
C
D
正确答案
解析
解：设F（c，0），A（0，b），渐近线方程为y=
直线AF的方程为
∵
∴（c，-b）=（
∴c=（
∴e=
故选：A．
已知双曲线
正确答案
解析
解：∵双曲线
∴a=t，
不妨设|PF1|=2t+|PF2|，|PF2|≥c-a=1
则
∴当|PF2|=1时，M有最大值1
故选A．
已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为
Ax±
B
Cx±2y=0
D2x±y=0
正确答案
解析
解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为
双曲线C2的方程为
∵C1与C2的离心率之积为
∴
∴
C2的渐近线方程为：y=
故选：A．
与双曲线x2-4y2=4有共同的渐近线，并且经过点（2，
正确答案
解析
解：设与双曲线x2-4y2=4有共同的渐近线的双曲线的方程为x2-4y2=λ，
∵该双曲线经过点（2，
∴4-4×5=-16．
∴所求的双曲线方程为：x2-4y2=-16，
整理得：
故答案为：
设双曲线x2-y2=1的两条渐近线与直线
正确答案
-
解析
解：双曲线x2-y2=1的两条渐近线是y=±x，解方程组
∴目标函数z=x-2y的最小值为
答案：
扫码查看完整答案与解析