热门试卷

解：（1）切点为P（3，-1）的圆x2+y2=10的切线方程是3x-y=10．

∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，

∴两渐近线方程为3x±y=0．

设所求双曲线方程为9x2-y2=λ（λ≠0）．

∵点P（3，-1）在双曲线上，代入上式可得λ=80，

∴所求的双曲线方程为-=1．

（2）在椭圆中，焦点坐标为（±，0），

∴c=，又e===，∴a2=8，b2=2．

∴双曲线方程为-=1．

解：（1）∵双曲线的两条渐近线方程的方程为，

∴可设双曲线的方程为2x2-y2=λ（λ≠0），

又∵双曲线经过点（3，-2），代入方程可得λ=6，

∴所求双曲线的方程为；

（2）设A（x1、y1）、B（x2、y2），

过F且倾斜角为60°的直线方程为y=，

联立，可得 

所以x2-18x+33=0，

由韦达定理得x1+x2=18，x1x2=33，

则弦长|AB|==2=16．

解：（1）设C（x，y），A（1，0），B（0，-2），由=α+β，得

（x，y）=α（1，0）+β（0，-2），

∴，即点C的轨迹方程为x+y=1；

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），

联立，得（1-a2）x2+2a2x-14a2=0．

，

y1y2=（1-x1）（1-x2）=1-（x1+x2）+x1x2

=1-=．

∵OM⊥ON，

∴==0．

即27a2-1=0，

∴．

∴双曲线的方程27x2-y2=13．

解：（Ⅰ）在双曲线x2-=1中，a=1，b=，c=，…（2分）

∴a，c′=a=1，b′2=2     …（3分）

所以，椭圆C的方程是              …（4分）

（Ⅱ）假设存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角，

依题意可知直线l、PA、PB斜率存在且不为零．

不妨设P（m，0），直线l的方程为y=k（x-1），k≠0…（5分）

由消去y得（3k2+2）x2-6k2x+3k2-6=0  …（6分）

设A（x1，y1）则，…（8分）

∵直线PA、PB的倾斜角互为补角，∴kPA+kPB=0对一切k恒成立，…（9分）

即=0对一切k恒成立 …（10分）

又y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），

代入上式可得2x1x2+2m-（m+1）（x1+x2）=0对一切k恒成立…（11分）

∴2×+2m-（m+1）×=0对一切k恒成立，…（12分）

即=0，4m-12=0，

∴m=3，…（13分）

∴存在P（3，0）使得直线PA、PB的倾斜角互为补角．…（14分）

解：由对称性知，设正方形的一个顶点为（m，m），（m＞0），

则代入椭圆和双曲线方程，即有

+m2=1，-m2=1．

解得a2=，

即有e1=，e2=，

则+=+=1-+

=1-（-1）+2+=4．