热门试卷

26

①方程mx2+ny2=1（m＞n＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，命题①为假命题；

②直线ax+2y+3=0的斜率为-，直线x+by+2=0的斜率为-b，若两直线垂直，-•(-b)=-1，即a+2b=．命题②为真命题．

③方程mx2-ny2=1（m＞n＞0）表示双曲线，离心率为＜，故命题③是假命题．

④“全等三角形的面积相等”的否命题是“全等三角形的面积不相等”，为假命题．

故答案为：②

（1）当k=-1，函数y=cos2（-x）-sin2（-x）=cos2x，最小正周期也为π，是个假命题；

（2）直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7相互平行，

根据两条线平行的充要条件=≠，得到a=3，这是一个真命题；

（3）函数 y==+≥2，

等号不能成立，y不能取到最小值2，故（3）错；

（4）双曲线-y2=1的两条渐近线是y=±正确，（4）对．

综上可知假命题有（1）（3），

故答案为：（1）（3）．

①由题意可知点（2，4）在抛物线y2=8x上

故过点（2，4）且与抛物线y2=8x只有一个公共点时只能是

i）过点（2，4）且与抛物线y2=8x相切；ii）过点（2，4）且平行与对称轴．①故正确；

②过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，

若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不适合．

故设直线AB的斜率为k，则直线AB为y=k（x-1）

代入抛物线y2=4x得，k2x2-2（k2+2）x+k2=0

∵A、B两点的横坐标之和等于5，

∴=5，k2=，则这样的直线有且仅有两条，故②正确；

③由题意可得：双曲线x2-y2=3的渐近线方程为：y=±x，

所以点（3，1）不是双曲线渐近线上的一点，

所以过点 （3，1）且与双曲线仅有一个公共点的直线有四条，其中两条是过点 （3，1）并且与双曲线相切的直线，另两条过点 （3，1）且平行于渐近线x+y=0的直线．故③错；

④∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，

∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，

当直线与实轴垂直时，

有3-=1，∴y=2，

∴直线AB的长度是4，

综上可知有三条直线满足|AB|=4，故④正确；

⑤设过点B（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1或x=1

（1）当k存在时有 得（2-k2）x2+（2k2-2k）x-k2+2k-3=0 （1）

当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有△=（2k2-2k）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）＞0，

∴k＜设P（x1，y1），Q（x2，y2）

∴x1+x2=又B（1，1）为线段AB的中点

∴=1 即 =1，∴k=2

当k=2，使2-k2≠0但使△＜0

因此当k=2时，方程（1）无实数解

故过点m（1，1）与双曲线交于两点A、B且M为线段AB中点的直线不存在．

（2）当x=1时，直线经过点M但不满足条件，

综上，符合条件的直线l不存在．故⑤错．

故答案为：①②④．

①根据椭圆的定义，当K≤|AB|时，动点P的轨迹不是椭圆，∴①错误；

②双曲线与椭圆的焦点坐标都是（±，0），∴②正确；

③方程2x2-5x+2=0的两根可分别2和，∴③正确；

④根据向量加法的平行四边形法则P为AB的中点，在单位圆x2+y2=1，设P（x，y），A（-1，0），B（x1，y1）

x1=2x+1，y1=2y代入圆的方程得（2x+1）2+（2y）2=1，轨迹是圆，∴④错误．

故答案是②③

对于①，先说明充分性不成立，

例如函数y=|x|，在x=0处取得极小值f（0）=0，但f′（x）在x=0处无定义，

说明f′（0）=0不成立，因此充分性不成立；

再说明必要性不成立，设函数f（x）=x3，则f′（x）=3x2在x=0处，f′（x）=0，但x=0不是函数f（x）的极值点，故必要性质不成立．故①错；

对于②，由题意，

若2在末位，则需要从余下的三个数中选出三个数排在百位、千位与万位，故不同的排法有A33=6种

若2不在末位，则必有4在末位，由此，2，3二数先捆在一起，再与两奇数一起参加排列，总的排法有A22×A33=12，

综上由数字1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的五位数中，2和3相邻的偶数共有6+12=18个．故②正确；

对于③：∵y=2sin（wx+θ）为偶函数∴θ=+kπ k∈z 又∵0＜θ＜π∴θ=

由诱导公式得函数y=2coswx  又∵其图象与直线y=2某两个交点的横坐标分别为x1，x2，若|x2-x1|的最小值为π

∴函数的周期为π 即 w=2．故③正确；

对于④：∵双曲线的a=1，b=3，c=，

由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a=2，

∴|PF1|-4=±2，

∴|PF1|=6或2，但是|PF1|≥c-a=-1，故|PF1|=2舍去．故④错．

故答案为：②③．

设M（x，y），由A，B的坐标分别为（-a，0），（a，0），

则kAM=（x≠-a），kBM=（x≠a），

由kAM•kBM=k，得：•=k，即kx2-y2=ka2①．

（1）若k=（a，b∈R+），则方程①化为-=1，点M的轨迹是双曲线除去两个顶点，

∴命题（1）不正确；

（2）若k=-（a，b∈R+），则方程①化为+=1，点M的轨迹是椭圆除去长轴上两个顶点，

∴命题（2）正确；

（3）在（1）条件下，点p（x0，y0）（x0＜0）是曲线上的点，说明点P在双曲线-=1的左支上，

F1，F2是双曲线的左右焦点，则由|PF1|=|PF2|及|PF2|-|PF1|=2a求得|PF1|=a，|PF2|=a，

又|PF1|+|PF2|=a+a≥2c，∴≤，又e＞1，∴（1）的轨迹所在的圆锥曲线的离心率取值范围（1，]．

∴命题（3）正确；

（4）在（2）的条件下，由满足•=0的点M总在曲线的内部，说明满足MF1⊥MF2的点M在曲线内部，若点M在曲线上，则|MF1|2+|MF2|2＞4c2，取M为椭圆短轴的一个端点，则|MF1|=|MF2|=a，所以2a2＞4c2，

则＜．∴命题（4）错误．

所以，正确的命题是②③．

故答案为②③．

双曲线-=1的焦点坐标为（±，0）点，椭圆+y2=1的焦点坐标也为（±，0）点，故①正确；

解2x2-5x-3＜0得-＜x＜3，∵（-，0）⊊（-，3），故“-＜x＜0”是“2x2-5x-3＜0”充分不必要条件，故②错误；

若、共线，则、所在的直线平行或重合，故③错误；

若，，三向量两两共面，则、、三向量可能不共面，如空间坐标系中三个坐标轴的方向向量，故④错误；

∵方程x2-3x+3=0的△=-3＜0，故方程x2-3x+3=0无实根，故⑤正确

故答案为：①⑤

由双曲线方程可得渐近线方程为y=±，又双曲线的渐近线方程式为y=±x，

∴=，解得b=1．

故答案为1