圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

过抛物线x2=2y上两点A（-1，）、B（2，2）分别作抛物线的切线，两条切线交于点M．

（1）求证：∠BAM=∠BMA；

（2）记过点A、B且中心在坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线为C，F1、F2为C的两个焦点，B1、B2为C的虚轴的两个端点，过点B2作直线PQ分别交C的两支于P、Q，当•∈（0，4]时，求直线PQ的斜率k的取值范围．

正确答案

（1）∵y=x2，

∴y'=x，

切于点A（-1，）的切线方程为y-=-（x+1），

切于点B（2，2）的切线方程为y-2=2（x-2），

联立解得M（，-1），

∵|BA|=|BM|，

∴∠BAM=∠BMA．

（2）设双曲线方程为mx2-ny2=1，

由题意，有m-n=1且4m-4n=1，

解得m=，n=1，

∴双曲线方程为x2-y2=1，

不妨设B1（0，1），B2（0，-1），

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

∴=（-x1，1-y1），=（-x2，1-y2），

∴•=x1x2+1-（y1+y2）+y1y2∈（0，4]．

设直线PQ的方程为y=kx-1（k必存在），

由，

得（-k2）x2+2kx-2=0

△=4k2+8（-k2）＞0

x1+x2=，x1x2=

•=x1x2+1-（y1+y2）+y1y2

=x1x2+1-k（x1+x2）+2+k2x1x2-k（x1+x2）+1

将x1+x2=，x1x2=代入，

得•=+1-k•+2+k2•-k•+1

=+4

=．

∴•=∈（0，4]，

即0＜≤4，

∴，

由①得k2≤，或k2＞，

由②得k2≤1，或k2＞，

故k2≤1，或k2＞

解得k∈（-∞，-）∪[-1，1]∪（，+∞）．

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题型：填空题

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填空题

若x1，x2分别为三次函数f(x)=x3-2x2+3x-5的极大值点和极小值点，则以（x1，0）为顶点，（x2，0）为焦点的双曲线的离心率e 等于______．

正确答案

求导函数可得f′（x）=x2-4x2+3

令f′（x）=x2-4x2+3＞0，可得x＜1或x＞3；令f′（x）=x2-4x2+3＜0，可得1＜x＜3

∴1，3是函数的极值点

∴（1，0）为双曲线的顶点，（3，0）为双曲线的焦点

∴a=1，c=3

∴e==3

故答案为3．

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题型：填空题

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填空题

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线-=1(a＞0，b＞0)的焦点到一条渐近线l的距离为4，若渐近线l恰好是曲线y=x3-3x2+2x在原点处的切线，则双曲线的标准方程为______．

正确答案

f′（x）=3x2-6x+2．设切线的斜率为k．

切点是原点，k=f′（0）=2，所以所求曲线的切线方程为y=2x．

∵双曲线的一条渐近线方程是 y=2x，

∴=2

又∵==4

∴c=2，∵c2=a2+b2∴a2=4 b2=16

∴双曲线方程为-=1

故答案为-=1．

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题型：填空题

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填空题

设椭圆+=1和双曲线-x2=1的公共焦点分别为F1、F2，P为这两条曲线的一个交点，则||||=______．

正确答案

∵椭圆+=1和双曲线-x2=1的公共焦点分别为F1、F2，

∴m-2=3+1，

∴m=6，

∴|PF1|+|PF2|=2 ，||PF1|-|PF2||=2 ，

两式平方相减可得，4|PF1|•|PF2|=12，

∴|PF1|•|PF2|=3．

故答案为：3．

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题型：填空题

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填空题

在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为（，0），e1=（2，1）、e2=（2，-1）分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线Γ上的点P，若，

则a、b满足的一个等式是（）。

正确答案

4ab=1

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题型：填空题

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填空题

在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(，0)，

e

1=(2，1)、

e

2=(2，-1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若=

ae

1+（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是______．

正确答案

因为

e

1=(2，1)、

e

2=(2，-1)是渐进线方向向量，

所以双曲线渐近线方程为y=±x，

又c=，∴a=2，b=1

双曲线方程为-y2=1，=

ae

1+=（2a+2b，a-b），

∴-(a-b)2=1，化简得4ab=1．

故答案为4ab=1．

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题型：简答题

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简答题

曲线C是中心在原点，焦点为F(，0)的双曲线的右支，已知它的一条渐近线方程是y=x．

（1）求曲线C的方程；

（2）已知点E（2，0），若直线l与曲线C交于不同于点E的P，R两点，且•=0，求证：直线l过一个定点，并求出定点的坐标．

正确答案

（1）设曲线C的方程为-=1(x≥a，a＞0，b＞0)

∵一条渐近线方程是y=x，c=

∴a=2b，a2+b2=c2=5

∴a=2，b=1

故所求曲线C的方程是-y2=1(x≥2)…（5分）

（2）设P（x1，y1），R（x2，y2），

①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m

由，

此时1-4k2≠0

∴…（7分）

由•=0⇒(x1-2)(x2-2)+y1y2

=（x1-2）（x2-2）+（kx1+m）（kx2+m）=0

∴（1+k2）x1x2+（km-2）（x1+x2）+m2+4=0

（1+k2）•+（km-2）•+m2+4=0

整理有3m2+16km+20k2=0⇒m=-，或m=-2k…（10分）

当m=-2k时，直线L过点E，不合题意

当m=-，则直线l的方程为y=kx-=k(x-)

则直线l过定点（，0）…（12分）

②当直线l的斜率不存在时，x1=x2，y1=-y2，

由•=0，

有x12-4x1+4-=0，又-=1

从而有x1=x2=．此时直线L过点(，0)

故直线l过定点(，0)…（15分）

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点．

（I）若动点M满足=++（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；

（II）在x轴上是否存在定点C，使•为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

正确答案

由条件知F1（-2，0），F2（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）

（I）设M（x，y），则=(x+2，y)，=(x1+2，y1)，=(x2+2，y2)，=(2，0)，

由=++，得，即，

于是AB的中点坐标为(，)，

当AB不与x轴垂直时，==，即y1-y2=(x1-x2)，

又因为A，B两点在双曲线上，所以x12-y12=2，x22-y22=2，

两式相减得（x1-x2）（x1+x2）=（y1-y2）（y1+y2），即（x1-x2）（x-4）=（y1-y2）y，

将y1-y2=(x1-x2)代入上式，化简得（x-6）2-y2=4，

当AB与x轴垂直时，x1=x2=2，求得M（8，0），也满足上述方程，

所以点M的轨迹方程是（x-6）2-y2=4．

（II）假设在x轴上存在定点C（m，0），使•为常数，

当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=k（x-2）（k≠±1），

代入x2-y2=2有（1-k2）x2+4k2x-（4k2+2）=0

则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1+x2=，x1x2=，

于是•=(x1-m)(x2-m)+k2(x1-2)(x2-2)

=（k2+1）x1x2-（2k2+m）（x1+x2）+4k2+m2=-+4k2+m2

=+m2

=2(1-2m)++m2．

因为•是与k无关的常数，所以4-4m=0，即m=1，此时•=-1，

当AB与x轴垂直时，点A，B的坐标可分别设为(2，)，(2，-)，

此时•=(1，)•(1，-)=-1，

故在x轴上存在定点C（1，0），使•为常数．

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题型：简答题

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简答题

（文）已知双曲线-=1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，满足•=0，||=2||．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）过点P作与实轴平行的直线，依次交两条渐近线于Q，R两点，当•=2时，求双曲线的方程．

正确答案

（I）设PPF1=m，PF2=n（m＞n）

∵•=0，||=2||．

∴

∴5a2=4c2

∴e==

（II）由（I）可得，b2=c2-a2=a2

∴双曲线的方程x2-4y2=a2，渐进线方程为y=±x

设P（x，y）则可得Q（2y，y），R（-2y，y）

∵•=（2y-x，0）•（-2y-x，0）=x2-4y2=2

∴a2=2，b2=

∴双曲线方程为-2y2=1

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题型：填空题

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填空题

设P是双曲线y=上一点，点P关于直线y=x的对称点为Q，点O为坐标原点，则•=______．

正确答案

P是双曲线y=上一点

设 P(x1，)，

∵点P关于直线y=x的对称点为Q，则 Q(，x1)，

∴•=(x1，)•(，x1)=x1•+•x1=2．

故答案为：2

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题型：简答题

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简答题

过双曲线-x2=1的上支上一点P作双曲线的切线分别交两条渐近线于点A，B．（1）求证：•为定值．（2）若=，求动点M的轨迹方程．

正确答案

解．（1）∵双曲线-x2=1的上支可表示为函数y=，且y′=×=

设P（x0，y0）是双曲线上任一点，则双曲线在该点处的切线为y-y0=（x-x0）

即y-y0=（x-x0），即y0y-3x0x=3，

与渐近线方程y=x联立，解得A(，)（由于P不在双曲线的渐近线上，故y0±x0≠0）；

与渐近线y=-x联立，解得B(，)，

∴•=+=+=2（定值）

（2）设M（x，y）为所求轨迹上一点，由=知=+，由（1）有

即

再由P（x0，y0）在双曲线-x2=1 （y＞0）上

∴-=1，

∴-=1

故所求轨迹为-=1(y＞0)．

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题型：填空题

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填空题

设点F1、F2为双曲线C：x2-=1的左、右焦点，P为C上一点，若△PF1F2的面积为6，则•=______．

正确答案

由题意可得，2c=F1F2=4，F1（-2，0），F2（2，0）

∵P在双曲线上

∴-=1

∴S△PF 1F2=•2c|yp|=2|yp|=6

∴|yp|=3，xp2=4

则•=（-2-xp，-yp）•（2-xp，-yp）

=xp2-4+yp2=xp2+5=9

故答案为：9

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题型：填空题

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填空题

设F1、F2是双曲线-=1的两个焦点，点P在双曲线上，且•=0，则||•||的值等于______．

正确答案

依题意可知a2=4，b2=1

所以c2=5

∴|F1F2|=2c=2

令|PF1|=p，|PF2|=q

由双曲线定义：|p-q|=2a=4

平方得：p2-2pq+q2=16

∵•=0，∴∠F1PF2=90°，由勾股定理得：

p2+q2=|F1F2|2=20

所以pq=2

即|PF1|•|PF2|=2

故答案为：2．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线-=1(a＞0，b＞0)，A，C分别是双曲线虚轴的上、下端点，B，F分别是双曲线的左顶点和左焦点．若双曲线的离心率为2，则与夹角的余弦值为______．

正确答案

由题意可得由题意得A（0，b），C（0，-b），B（-a，0），F（-c，0），=2．

∴=（a，b），=（-c，b）．设与的夹角为θ，则cosθ=====，

故答案为．

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题型：填空题

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填空题

双曲线-=1的两个焦点为F1、F2，点P在该双曲线上，若•=0，则|+|=______．

正确答案

因为-=1 ，a=3， b=4 ， c=5，•=0，

所以(

PF1

+

PF2

)2=|

PF1

|2 +|

PF2

|2+ 2•=|

PF1

|2 +|

PF2

|2

=（2c）2=100

所以|+|=10

故答案为：10

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