热门试卷

（1）由，得P（2，1），

双曲线-y2=1的渐近线方程是x-2y=0和x+2y=0，

点P（2，1）到两条渐近线x-2y=0和x+2y=0的距离分别是

d1=和d2=，

∴点P到双曲线两条渐近线的距离之积

d1d2==．

（2）设直线PA斜率为k，则PA的方程为：y-1=k（x-2），

即kx-y+1-2k=0，

由，消去y，并整理，得（1-2k2）x2+（8k2-4k）x+8k-8k2-4=0，

∵直线PA与双曲线-y2=1有两个交点，

∴△=（8k2-4k）2-4（1-2k2）（8k-8k2-4）＞0，

即k2-2k+1＞0，

∴k≠1．

故k的取值范围是（-∞，1）∪（1，+∞）．

（3）∵P（2，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵PA和PB是两条倾斜角互补且不重合的直线，

设PA斜率是m，则PB斜率是-m

则PA：y=m（x-2）+1，PB：y=-m（x-2）+1，

分别与双曲线方程联立，得

-(mx1-2m+1)2=1，

（1-2m2）x12+（8m2-4m）x1+8m-8m2-4=0，

∵2是方程的一个根，

∴x1=-2，

同理，x2=-2，

∴x1-x2=，

∵y1=m(-4)+1，

y2=-m(-4)+1，

∴y1-y2=，

∴kAB===-1．

即直线AB的斜率为定值-1．

设A（x1，y1）、B（x2，y2），由已知有F（2，0），AB的方程为y=x-2，

将其代入x2-=1整理可得到2x2+4x-7=0，则x1+x2=-2，

AB的中点C的坐标为（-1，-3），于是|CF|=3

（Ⅰ）由双曲线E：-=1，得l：x=-4，C（-4，0），F（-6，0）．…（2分）

又圆C过原点，所以圆C的方程为（x+4）2+y2=16．   …（4分）

（Ⅱ）由题意，设G（-5，yG），代入（x+4）2+y2=16，得yG=±，…（5分）

所以FG的斜率为k=±，FG的方程为y=±(x+6)．…（6分）

所以C（-4，0）到FG的距离为d=，…（7分）

直线FG被圆C截得的弦长为2=7…（9分）

（Ⅲ）设P（s，t），G（x0，y0），则由=，得

整理得3（x02+y02）+（48+2s）x0+2ty0+144-s2-t2=0．①…（11分）

又G（x0，y0）在圆C：（x+4）2+y2=16上，所以x02+y02+8x0=0   ②

②代入①，得（2s+24）x0+2ty0+144-s2-t2=0．…（13分）

又由G（x0，y0）为圆C上任意一点可知，…（14分）

解得：s=-12，t=0．…（15分）

所以在平面上存在一定点P，其坐标为（-12，0）．  …（16分）

双曲线-=1的右焦点为（5，0），设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），M（x，y），则，两式相减化简得=，，又AB的斜率为，∴=

∵抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），

∴不妨设双曲线的焦点F1（1，0），

∵双曲线过点A（-2，4）和B（4，4），

∴|AF1|=|BF1|=5，

由双曲线的定义知，||AF1|-|AF2||=||BF1|-|BF2||，即|5-|AF2||=|5-|BF2||，

（1）当5-|AF2|=5-|BF2|时，即|AF2|=|BF2|，

∴焦点F2的轨迹是线段AB的中垂线，其方程为x=1（y≠0），

（2）当5-|AF2|=|BF2|-5时，即|AF2|+|BF2|=10＞6，

∴焦点F2的轨迹是以A、B为焦点，长轴为10的椭圆，

∴其中心是（1，4），a=5，c=3，∴b2=25-9=16，

其方程为+=1（y≠0）．

∴所求的轨迹方程为：x=1（y≠0）或+=1（y≠0）．

（1）设点P（x，y），由题意：|PA|=2|PB|得：=2，…（4分）

整理得到点P的轨迹方程为x2+y2-4x=0…（7分）

（2）双曲线x2-=1的渐近线为y=±3x，…（9分）

解方程组，得交点坐标为(0，0)，(，)，(，-)…（13分）