热门试卷

（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，即kx-y=0

∵该直线与圆 x2+(y-)2=1相切，

∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x…（3分）

故设双曲线C的方程为-=1，又∵双曲线C的一个焦点为(，0)

∴2a2=2，a2=1，∴双曲线C的方程为x2-y2=1…（6分）

（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT|=|OF1|

若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|…（8分）

根据双曲线的定义|TF2|=2，所以点T在以F2(，0)为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是(x-)2+y2=4(x≠0)①…（10分）

由于点N是线段F1T的中点，设N（x，y），T（xT，yT）

则，，即…（12分）

代入①并整理得点N的轨迹方程为 x2+y2=1，(x≠)…（14分）

（解一）：（1）设直线方程为y=k1x+b，代入椭圆方程并整理得：（1+2k12）x2+4k1bx+2b2-2=0，（2分）

x1+x2=-，又中点M在直线上，所以=k1•)+b

从而可得弦中点M的坐标为(-，)，k2=-，所以k1k2=-．（4分）

（解二）设点A（x1，y1），B（x2，y2），中点M（x0，y0） 则x0=，y0=

K2==，k1=   （2分）

又x12+y12=1与x22+y22=1作差得  -=

所以 K1K2=-            （4分）

（2）对于椭圆，K1K2=-  （6分）

已知斜率为K1的直线L交双曲线+=1（a＞0，b＞0）于A，B两点，点M 为弦AB的中点，直线OM的斜率为k2（其中O为坐标原点，假设K1、k2都存在）．

则k1，k2⋅的值为． （8分）

（解一）设直线方程为y=k1x+d，代入+=1（（a＞0，b＞0）方程并整理得：（b2-a2k12）x2-2k1a2dx-（ad）2-（ab）2=0

(y1+y2)=，

所以K2===，k1= （2分），即k1k2=     （10分）

（解二）设点A（x1，y1），B（x2，y2），中点中点M（x0，y0）

则x0=，y0=，K2==，k1= （2分）

又因为点A，B在双曲线上，则

-=1与-=1作差得

==k1k2    即k1k2= （10分）

（3）对（2）的概括：设斜率为k1的直线L交二次曲线C：mx2+ny2=1（mn≠0）于A，B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k2（其中O为坐标原点，假设k1，k2、都存在），则k1k2=-．（12分）

提出问题与解决问题满分分别为（3分），提出意义不大的问题不得分，解决问题的分值不得超过提出问题的分值．

提出的问题例如：直线L过原点，P为二次曲线线mx2+ny2=1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点，当P异于A，B两点时，如果直线PA，PB的斜率都存在，则它们斜率的积为与点P无关的定值．（15分）

解法1：设直线方程为y=kx，A，B两点坐标分别为（x1，y1）、（-x1，-y1），则y1=kx1

把y=kx代入mx2+ny2=1得（m+nk2）x2=1，

KPA•KPB==，

所以KPA•KPB===-（18分）

提出的问题的例如：直线L：y=x，P为二次曲线mx2+ny2=1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点．试问使∠APB=30°的点P是否存在？（13分）

问题例如：1）直线L过原点，P为二次曲线线mx2+ny2=1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点，求PA+PB的值．

2）直线l过原点，P为二次曲线mx2+ny2=1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点，求S△PAB的最值．

（1）∵=，得=，∴渐近线l1，l2的方程为y=±3x；

（2）设M（x0，y0），A（x1，3x1），B（x2，-3x2），

=（x0-x1，y0-3x1），=（x0-x2，y0+3x2），

∴y0-3x1=3y0+9x2

∴y0=（-3x2-x1），∵-=1，

∴4b2=-12x1x2，即b2=-3x1x2，

∵•=8，

∴x1x2+3x1（-3x2）=8，x1x2=-1，

∴b2=3，a2=27，

∴椭圆的方程为；+=1．

（1）由题可知b=2，a=4，椭圆的标准方程为：+=1（6分）

（2）设双曲线方程为：x2-4y2=λ，（9分）

∵双曲线经过点（2，2），∴λ=22-4×22=-12，

故双曲线方程为：-=1．（12分）

根据题意：双曲线x2-=1的焦点坐标为（-2，0），（2，0），顶点坐标为（-1，0），（1，0）

∵椭圆C以双曲线x2-=1的焦点为顶点，以双曲线的顶点为焦点．

∴椭圆的顶点为（-2，0），（2，0），焦点坐标为2，（-1，0），（1，0）

∴a=2，b=3

∴椭圆的方程是：+=1

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2） 联立y=kx+m，+=1

整理得：（3+4k2）x2+8mkx+4m2-12=0

△=64m2k2-4（4k2+3）（4m2-12）＞0

解得：m2＜4k2+3 ①

由韦达定理：x1+x2=-8mk/（3+4k2）．x1x2=（4m2-12）/（3+4k2）

所以y1y2=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2=（3m2-12k2）/（3+4k2）

因为以MV为直径的圆过椭圆C的右顶点A（2，0）

所以•=0

∴7m2+16mk+4k2=0

解得：m1=-2k/7，m2=-2k

经检验，当m=-2k/7或m=-2k时，①式均成立

而当m=-2k时，直线l：y=k（x-2），过右顶点，不合题意所以m=-2k/7，

∴直线l：y=k（x-2/7）．过定点（2/7，0）

（1）当且仅当⇒k＜4时，方程表示椭圆；----（2分）

当且仅当（9-k）（4-k）＜0⇒4＜k＜9时，方程表示双曲线．---（4分）

（2）化简得：（13-2k）x2+2（9-k）x+（9-k）（k-3）=0----（6分）

△≥0⇒k≥6或k≤4所以6≤k＜9-------（8分）

双曲线的实轴为2，当k=6时，双曲线实轴最长为2

此时双曲线方程为-=1-------（10分）

（3）由（1）知C1，C2，C3是椭圆，C5，C6，C7，C8是双曲线，结合图象的几何性质

任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间无公共点------（12分）

设|PF1|=d1，|PF2|=d2，m∈{1，2，3}，n∈{5，6，7，8}

由椭圆与双曲线定义及•=0；所以m+n=8-----（16分）

所以这样的Cm，Cn存在，且或或-----（18分）

椭圆方程为+=1，可知椭圆的焦距为8

①当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为-=1（a＞0，b＞0）

∴解得

∴双曲线的标准方程为-=1（6分）

②当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为-=1（a＞0，b＞0）

∴解得

∴双曲线的标准方程为-=1

由①②可知，双曲线的标准方程为-=1或-=1（12分）

（1）由题意，，解得a2=15，b2=10，

∴椭圆的标准方程为+=1；

（2）设双曲线方程为-=1（a＞0，b＞0），则c=5

∵，解得a2=16，b2=9，

∴双曲线的标准方程为-=1．

双曲线类似的性质为：

若A，B是双曲线-=1(a＞0，b＞0且a，b为常数）上关于原点对称的两点，点P是双曲线上的任意一点，若直线PA和PB的斜率都存在，并分别记为kPA，kPB，那么kPA与kPB之积是与点P位置无关的定值．

证明：设P（x0，y0），A（x1，y1），则B（-x1，-y1），

且-=1①，-=1②，

两式相减得：b2(-)-a2(-)=0，

∴kPA•kPB=•==

即kPA•kPB=，是与点P位置无关的定值．