圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知两点F1（0，-2），F2（0，2），且点P到这两点的距离和等于6．

（1）求以F1，F2为焦点，且过点P的椭圆方程；

（2）设点P（0，3），F1，F2，P关于直线y=x的对称点分别为P'，，F2′，求以，F2′为焦点，且过点P′的双曲线方程．

正确答案

（1）设椭圆的方程为+=1(a＞b＞0)，

由椭圆定义，得2a=|PF1|+|PF2|=6，c=2，所以，b2=a2-c2=5．

所以，椭圆的方程为+=1．…（5分）

（2）因为点P，F1，F2关于直线y=x的对称点分别为P'（3，0），F1′(-2，0)，F2′(2，0)，

设双曲线的方程为-=1(a＞0，b＞0)，

由双曲线定义，得2a=||P'F'1|-|P'F'2||=4，c=，

所以，b2=c2-a2=10．

所以，双曲线的方程为 -=1．…（10分）

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题型：填空题

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填空题

设F1、F2为曲线C1：+=1的焦点，P是曲线C2：-y2=1与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为______．

正确答案

由曲线C1：+=1的方程可得 F1 （-2，0）、F2 （2，0），再由椭圆的定义可得

PF1+PF2=2．又因曲线C2：-y2=1 的焦点和曲线C1 的焦点相同，再由双曲线的定义可得

PF1-PF2=2．∴PF1=+ ，PF2=-．

△PF1F2 中，由余弦定理可得 16=(

6

+

3

)2+ (

6

-

3

)2-2（+）（-）cos∠F1PF2 ，

解得 cos∠F1PF2=，∴sin∠F1PF2=，

△PF1F2的面积为 •PF1•PF2•sin∠F1PF2=（+ ）（-）sin∠F1PF2=，

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知命题p：+=1表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：（k-1）x2+（k-3）y2=1表示双曲线．若p和q有且仅有一个正确，求k的取值范围．

正确答案

当p正确时，k＞4-k＞0，即2＜k＜4．

当q正确时，（k-1）（k-3）＜0即1＜k＜3．

由题设，若p和q有且只有一个正确，则

（1）若 p正确q不正确，∴，∴3＜k≤4．

（2）若 q正确p不正确∴，∴1＜k≤2．

∴综上所述，若p和q有且仅有一个正确，k的取值范围是k∈（1，2]∪（3，4]．

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题型：填空题

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填空题

以椭圆+=1的焦点为顶点，离心率为2的双曲线方程为______．

正确答案

∵椭圆+=1的焦点为（±3，0）

∴双曲线的顶点为（±3，0），离心率为2

∴a=3，=2

∴c=6，∴b==3

∴双曲线方程为-=1

故答案为：-=1

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题型：简答题

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简答题

若双曲线C1与椭圆+=1有相同的焦点，与双曲线C2：-y2=1有相同渐近线．

（1）求C2的实轴长和渐近线方程；

（2）求C1的方程．

正确答案

（1）由题意可得C2中：a=，b=1，

故实轴长为2a=2，渐近线方程y=±x=±x；…（5分）

（2）法一：依题意可设所求的双曲线的方程为y2-=λ(λ＞0)…（6分）

即-=1…（7分）

又∵双曲线与椭圆+=1有相同的焦点，

∴λ+2λ=25-16=9解得λ=3…（11分）

∴C1的标准方程为-=1…（13分）

法二：设C1：-=1(a＞0，b＞0)，…（6分）

可得求得 …（11分）

∴C1的标准方程为-=1…（13分）

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题型：填空题

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填空题

离心率e=的椭圆，它的焦点与双曲线-y2=1的焦点重合，P为椭圆上任意一点，则P到椭圆两焦点距离的和为 ______．

正确答案

依题意可知双曲线的焦点为（2，0），（-2，0）

∵椭圆离心率e==，c=2

∴a=4

根据椭圆的定义可知P到椭圆两焦点距离的和为2a=8

故答案为8．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线与椭圆可+=1共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程．

正确答案

依题意可知椭圆方程中a=5，b=3，

∴c==4

∴椭圆焦点为F（O，±4），离心率为e=

所以双曲线的焦点为F（O，±4），离心率为2，

从而双曲线中

求得c=4，a=2，b=2．

所以所求双曲线方程为-=1

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题型：简答题

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简答题

（1）焦点在x轴上的椭圆，短轴上的一个端点与两个焦点为同一个正三角形的顶点，焦点与椭圆上点的最近距离为，求椭圆标准方程．

（2）已知双曲线与椭圆+=1公共焦点，且以y=±x为渐近线，求双曲线方程．

正确答案

（1）由题意得解得，

∴b2=a2-c2=9，

∴椭圆的标准方程为+=1．

（2）由椭圆+=1得其焦点坐标（±5，0），

所以，双曲线焦点在x轴上，且c=5且渐近线方程为y=±x，所以=，

又c2=a2+b2，所以a=3，b=4，

∴双曲线方程为-=1．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线C的焦点、实轴端点恰好是椭圆+=1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程是______．

正确答案

椭圆长轴端点为（-5，0），（5，0），焦点为（-3，0），（3，0），

∴对于双曲线中，c=5，a=3，得b==4，

∴双曲线方程为：-=1=1，

∴渐过线方程为：4x±3y=0．

故答案为4x±3y=0．

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题型：填空题

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填空题

已知椭圆+=1（a＞b＞c）的离心率e=，则双曲线-=1的渐近线方程是______．

正确答案

∵椭圆+=1（a＞b＞c）的离心率e=，

∴=

∴a=2b

∴双曲线-=1的渐近线方程是y=±2x

故答案为y=±2x．

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题型：填空题

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填空题

椭圆+=1(a＞b＞0)的离心率为，则双曲线-=1的离心率为______．

正确答案

由题意得椭圆 +=1（a＞b＞0）的离心率e=，

所以 e===．

所以 =．

所以双曲线的离心率 e===．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

若双曲线-=1与椭圆+y2=1共准线，则双曲线的离心率为______．

正确答案

+y2=1中

a′2=2，b′2=1

∴c′2=a′2-b′2=1

∴准线方程为x=±=±2

-=1的准线为x=±2

∴=2

解得b2=8

∴c2=16

∴离心率==

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线x2-y2=4a（a∈R，a≠0）的右焦点是椭圆+=1的一个顶点，则a=______．

正确答案

椭圆+=1的右顶点为（4，0），

故双曲线x2-y2=4a（a∈R，a≠0）的右焦点是（4，0），

∴4a+4a=42，∴a=2．

故答案为：2．

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题型：简答题

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简答题

设点P到点（-1，0）、（1，0）距离之差为2m，到x、y轴的距离之比为2，求m的取值范围．

正确答案

设点P的坐标为（x，y），依题设得=2，即y=±2x，x≠0

因此，点P（x，y）、M（-1，0）、N（1，0）三点不共线，得||PM|-|PN||＜|MN|=2

∵||PM|-|PN||=2|m|＞0

∴0＜|m|＜1

因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上，故-=1．

将y=±2x代入-=1，并解得x2=≥0，

因为1-m2＞0，所以1-5m2＞0，

解得0＜|m|＜，

即m的取值范围为(-，0)∪(0，)．

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题型：填空题

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填空题

设F1、F2是双曲线-=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点为P，若PF1=2PF2，则双曲线的两条渐近线方程为______．

正确答案

根据双曲线第一定义 PF1=2PF2 PF1-PF2=2a

∴PF2=a

∵点P在圆上，以F1F2为直径，故△PF1F2为直角三角形

∴F1F2 PF1 PF2 的比例关系为：2：1

∴PF2=2a F1F2=2a=2c

∴b=2a 所以渐近线方程为y=±2x

故答案为：y=±2x．

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