- 圆锥曲线与方程
- 共4501题
已知双曲线-
=1(a>0)的一个焦点F与抛物线y2=12x的焦点重合,则a=______,双曲线上一点P到F的距离为2,那么点P到双曲线的另一个焦点的距离为:______.
正确答案
根据题意,易得抛物线y2=12x的焦点为(3,0),
则双曲线-
=1(a>0)的一个焦点F坐标为(3,0),
则有a2=9-5=4,即a=2;
设点P到双曲线的另一个焦点的距离d,则有|d-2|=2a=4,
解可得,d=6或-2(舍去);
则点P到双曲线的另一个焦点的距离为6;
故答案为6.
以知F是双曲线-
=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为______.
正确答案
∵A点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F′(4,0),
∴由双曲线性质|PF|-|PF′|=2a=4
而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5
两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.
故答案为9
已知双曲线C的中心在坐标原点O,对称轴为坐标轴,点(-2,0)是它的一个焦点,并且离心率为.
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)已知点M(0,1),设P(x0,y0)是双曲线C上的点,Q是点P关于原点的对称点,求•
的取值范围.
正确答案
(Ⅰ)设双曲线方程为-
=1(a>0,b>0),半焦距c,
依题意得 解得a=
,b=1,
∴所求双曲线C的方程为-y2=1.
(Ⅱ)依题意有:Q(-x0,-y0),∴=(x0,y0-1),
=(-x0,-y0-1)
∴•
=-x02-y02+1
,又-y 02=1,
•
=-
+2,由
-y 02=1可得,x02≥3,
•
=-
+2≤-2故
•
的取值范围x≤-2.
已知双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0.
(1)若双曲线经过P(,2),求双曲线方程;
(2)若双曲线的焦距是2,求双曲线方程.
正确答案
(1)∵双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0.
∴设双曲线方程为:4x2-9y2=λ(λ≠0)
∵双曲线经过P(,2),
∴4×()2-9×22=λ,得λ=-12,
可得双曲线方程为:4x2-9y2=-12,化为标准形式得:-
=1.
(2)①当双曲线焦点在x轴上时,设方程为-
=1
∵渐近线的方程为2x±3y=0且焦距是2,
∴,解之得a=3,b=2.因此双曲线方程为
-
=1
②当双曲线焦点在y轴上时,设方程为-
=1
用类似于①的方法,可解得a=2,b=3.因此双曲线方程为-
=1
综上所述,可得双曲线方程为-
=1或
-
=1.
过双曲线x2-y2=4的左焦点F1有一条弦PQ在左支上,若|PQ|=7,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是______.
正确答案
∵|PF2|-|PF1|=4,|QF2|-|QF1|=4
∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=7
∴|PF2|+|QF2|-7=8,
∴|PF2|+|QF2|=15,
∴△F1PQ的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=15+7=22,
故答案为:22.
点p到点A(-m,0)与到点B(m,0)(m>0)的距离之差为2,若P在直线y=x上,则实数m的取值范围为______.
正确答案
点P到点A(-m,0)B(m,0)(m>0)的距离之差的绝对值为2
P在以A、B为焦点,2a=2,a=1的双曲线上
b2=c2-a2=m2-1
双曲线方程为:x 2-=1
P在直线y=x上,则双曲线与y=x有交点,即:渐近线斜率大于1
m 2-1>1
m>
故答案为:
求与双曲线-
=1有共同渐近线,并且经过点(-3,2
)的双曲线方程.
正确答案
设所求双曲线为-
=λ(λ≠0),
把点(-3,2)代入,得
-
=λ,
解得λ=,
∴所示的双曲线方程为-
=1.
设双曲线的中心在原点,准线平行于x轴,离心率为,且点P(0,5)到此双曲线上的点的最近距离为2,求双曲线的方程.
正确答案
依题意,设双曲线的方程为-
=1(a>0,b>0).
∵e==
,c2=a2+b2,∴a2=4b2.
设M(x,y)为双曲线上任一点,则
|PM|2=x2+(y-5)2
=b2(-1)+(y-5)2
=(y-4)2+5-b2(|y|≥2b).
①若4≥2b,则当y=4时,
|PM|min2=5-b2=4,得b2=1,a2=4.
从而所求双曲线方程为-x2=1.
②若4<2b,则当y=2b时,
|PM|min2=4b2-20b+25=4,
得b=(舍去b=
),b2=
,a2=49.
从而所求双曲线方程为-
=1.
已知双曲线与椭圆+
=1有相同的焦点,它的一条渐近线为y=2x,求双曲线标准方程.
正确答案
设双曲线方程为x2-=λ(λ>0),
则-
=1(4分),
又椭圆+
=1的半焦距为
,
根据题意,得λ+4λ=5,解得λ=1,
所以双曲线方程为x2-=1(9分)
P是以F1、F2为焦点的双曲线C:-
=1(a>0,b>0)上的一点,已知
•
=0,|
|=2|
|.
(1)试求双曲线的离心率e;
(2)过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P1、P2两点,当•
=-
,2
+
=0,求双曲线的方程.
正确答案
解(1)∵||=2|
|,|
|-|
|=2a,∴|
|=4a,|
|=2a.
∵•
=0,∴(4a)2+(2a)2=(2c)2,∴e=
=
.
(2)由(1)知,双曲线的方程可设为-
=1,渐近线方程为y=±2x.
设P1(x1,2x1),P2(x2,-2x2),P(x,y).
∵•
=-3x1x2=-
,∴x1x2=
.∵2
+
=0,∴
∵点P在双曲线上,∴-
=1.
化简得,x1x2=.∴
=
.∴a2=2.∴双曲线的方程为
-
=1
双曲线-
=1(a,b>0),一焦点到其相应准线的距离为
,过点A(0,-b),B(a,0)的直线与原点的距离为
,
(1)求该双曲线的方程;
(2)是否存在直线y=kx+5 (k≠0)与双曲线交于相异两点C,D,使得 C,D两点都在以A为圆心的同一个圆上,若存在,求出直线方程;若不存在说明理由.
正确答案
(1)因为焦点到其相应准线的距离为,所以
=
;
又因为过点A(0,-b),B(a,0)的直线与原点的距离为;
可设直线方程为-
=1,
由点到直线的距离公式得=
,解得a=
,b=1,
所以双曲线方程为-y2=1
(2)假设存在直线y=kx+5(k≠0,)与双曲线交于相异两点C,D,使得C,D两点都在以A为圆心的同一个圆上
∴得(1-3k2)x2-30kx-78=0;可得
因为C,D两点都在以A为圆心的同一个圆上;所以有|AC|=|AD|,
所以直线CD的中点坐标为M(,
)
因为AM⊥CD,所以=-
,解得k=±
,
所以直线方程为:y=±x+5
(文)已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,一条渐近线方程为3x+4y=0,若双曲线经过点P(-4,-6),求此双曲线的方程.
正确答案
∵渐近线方程为3x+4y=0,
设双曲线方程为9x2-16y2=λ,
将P(-4,-6)的坐标代入方程得
9(-4)2-16(-6)2=λ,
求得λ=-16×27,
所以双曲线方程为9x2-16y2=-16×27.
即-
=1.
已知双曲线-
=1 (a>0,b>0)的一条渐近线方程为
x+y=0,左、右顶点分别为A、B,右焦点为F,|BF|=1,过F作直线交此双曲线的右支于P、Q两点.
(1)求双曲线的方程;
(2)若•
=-17,求△PBQ的面积S.
正确答案
(1)由题意得:
解得:
∴双曲线方程为x2-=1--------------------------------------------------------(4分)
(2)第一种情况:若直线PQ的斜率不存在,则直线PQ的方程为x=2P(2,3)、Q(2,-3),
•
=13≠-17,不合题意;--------------------------------(6分)
第二种情况:若直线PQ的斜率存在,设P(x1,y1),Q(x2,y2),
直线PQ的方程为y=k(x-2),代入双曲线方程可得:(3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0(*)
且判别式△=36k2+36>0--(7分)
由于P、Q都在双曲线的右支上,所以3-k2≠0,且,解得k3>3-----------(8分)
所以y1y2=k(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=-
而=(x1,y1),
=(x1,y2),由于
•
=-17,所以x1x2+y1y2=-17
所以-
=-17,得k2=4>3
此时x1+x2=16,x1x2=19,y1y2=-36,y1+y2=k(x1+x2-4)=12k
所以S△PBQ=•|BF|×|y1-y2|=
×1×
=
=6
即△PBQ的面积是6-----------(11分)
已知双曲线-
=1 (a>0,b>0)经过点A(
,
),其渐近线方程为y=±2x.
(1)求双曲线的方程;
(2)设F1,F2是双曲线的两个焦点,证明:AF1⊥AF2.
正确答案
(1)依题意…(3分)
解得 …(5分)
所以双曲线的方程为x2-=1.…(6分)
(2)由(1)得,F1(-,0),F2(
,0),
从而以F1F2为直径的圆的方程是x2+y2=5.…(9分)
因为点A(,
)的坐标满足方程x2+y2=5,
故点A在以F1F2为直径的圆上,所以AF1⊥AF2.…(12分)
与双曲线-
=1有共同渐近线,且过A(-3,4
)的双曲线方程是______.
正确答案
由题意可设所求的双曲线方程为:-
=λ(λ≠0)
双曲线过A(-3,4),则可得
-
=λ即λ=-1
∴所求的双曲线的方程为:-
=1
故答案为:-
=1
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