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题型:填空题
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填空题

已知双曲线-=1(a>0)的一个焦点F与抛物线y2=12x的焦点重合,则a=______,双曲线上一点P到F的距离为2,那么点P到双曲线的另一个焦点的距离为:______.

正确答案

根据题意,易得抛物线y2=12x的焦点为(3,0),

则双曲线-=1(a>0)的一个焦点F坐标为(3,0),

则有a2=9-5=4,即a=2;

设点P到双曲线的另一个焦点的距离d,则有|d-2|=2a=4,

解可得,d=6或-2(舍去);

则点P到双曲线的另一个焦点的距离为6;

故答案为6.

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题型:填空题
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填空题

以知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为______.

正确答案

∵A点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F′(4,0),

∴由双曲线性质|PF|-|PF′|=2a=4

而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5

两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.

故答案为9

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题型:简答题
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简答题

已知双曲线C的中心在坐标原点O,对称轴为坐标轴,点(-2,0)是它的一个焦点,并且离心率为

(Ⅰ)求双曲线C的方程;

(Ⅱ)已知点M(0,1),设P(x0,y0)是双曲线C上的点,Q是点P关于原点的对称点,求的取值范围.

正确答案

(Ⅰ)设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),半焦距c,

依题意得  解得a=,b=1,

∴所求双曲线C的方程为-y2=1.

(Ⅱ)依题意有:Q(-x0,-y0),∴=(x0,y0-1),

=(-x0,-y0-1)

=-x02-y02+1

,又-y 02=1,=-+2,由-y 02=1可得,x02≥3,

=-+2≤-2故的取值范围x≤-2.

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题型:简答题
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简答题

已知双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0.

(1)若双曲线经过P(,2),求双曲线方程;

(2)若双曲线的焦距是2,求双曲线方程.

正确答案

(1)∵双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0.

∴设双曲线方程为:4x2-9y2=λ(λ≠0)

∵双曲线经过P(,2),

∴4×(2-9×22=λ,得λ=-12,

可得双曲线方程为:4x2-9y2=-12,化为标准形式得:-=1.

(2)①当双曲线焦点在x轴上时,设方程为-=1

∵渐近线的方程为2x±3y=0且焦距是2

,解之得a=3,b=2.因此双曲线方程为-=1

②当双曲线焦点在y轴上时,设方程为-=1

用类似于①的方法,可解得a=2,b=3.因此双曲线方程为-=1

综上所述,可得双曲线方程为-=1或-=1.

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题型:填空题
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填空题

过双曲线x2-y2=4的左焦点F1有一条弦PQ在左支上,若|PQ|=7,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是______.

正确答案

∵|PF2|-|PF1|=4,|QF2|-|QF1|=4

∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=7

∴|PF2|+|QF2|-7=8,

∴|PF2|+|QF2|=15,

∴△F1PQ的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=15+7=22,

故答案为:22.

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题型:填空题
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填空题

点p到点A(-m,0)与到点B(m,0)(m>0)的距离之差为2,若P在直线y=x上,则实数m的取值范围为______.

正确答案

点P到点A(-m,0)B(m,0)(m>0)的距离之差的绝对值为2

P在以A、B为焦点,2a=2,a=1的双曲线上

b2=c2-a2=m2-1

双曲线方程为:x 2-=1

P在直线y=x上,则双曲线与y=x有交点,即:渐近线斜率大于1

m 2-1>1

m>

故答案为:

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题型:简答题
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简答题

求与双曲线-=1有共同渐近线,并且经过点(-3,2)的双曲线方程.

正确答案

设所求双曲线为- =λ(λ≠0),

把点(-3,2)代入,得-=λ,

解得λ=

∴所示的双曲线方程为-=1.

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题型:简答题
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简答题

设双曲线的中心在原点,准线平行于x轴,离心率为,且点P(0,5)到此双曲线上的点的最近距离为2,求双曲线的方程.

正确答案

依题意,设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0).

∵e==,c2=a2+b2,∴a2=4b2

设M(x,y)为双曲线上任一点,则

|PM|2=x2+(y-5)2

=b2-1)+(y-5)2

=(y-4)2+5-b2(|y|≥2b).

①若4≥2b,则当y=4时,

|PM|min2=5-b2=4,得b2=1,a2=4.

从而所求双曲线方程为-x2=1.

②若4<2b,则当y=2b时,

|PM|min2=4b2-20b+25=4,

得b=(舍去b=),b2=,a2=49.

从而所求双曲线方程为-=1.

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题型:简答题
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简答题

已知双曲线与椭圆+=1有相同的焦点,它的一条渐近线为y=2x,求双曲线标准方程.

正确答案

设双曲线方程为x2-=λ(λ>0),

-=1(4分),

又椭圆+=1的半焦距为

根据题意,得λ+4λ=5,解得λ=1,

所以双曲线方程为x2-=1(9分)

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题型:简答题
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简答题

P是以F1、F2为焦点的双曲线C:-=1(a>0,b>0)上的一点,已知=0,||=2||.

(1)试求双曲线的离心率e;

(2)过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P1、P2两点,当=-,2+=0,求双曲线的方程.

正确答案

解(1)∵||=2||,||-||=2a,∴||=4a,||=2a.

=0,∴(4a)2+(2a)2=(2c)2,∴e==

(2)由(1)知,双曲线的方程可设为-=1,渐近线方程为y=±2x.

设P1(x1,2x1),P2(x2,-2x2),P(x,y).

=-3x1x2=-,∴x1x2=.∵2+=0,∴

∵点P在双曲线上,∴-=1.

化简得,x1x2=.∴=.∴a2=2.∴双曲线的方程为-=1

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题型:简答题
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简答题

双曲线-=1(a,b>0),一焦点到其相应准线的距离为,过点A(0,-b),B(a,0)的直线与原点的距离为

(1)求该双曲线的方程;

(2)是否存在直线y=kx+5 (k≠0)与双曲线交于相异两点C,D,使得 C,D两点都在以A为圆心的同一个圆上,若存在,求出直线方程;若不存在说明理由.

正确答案

(1)因为焦点到其相应准线的距离为,所以=

又因为过点A(0,-b),B(a,0)的直线与原点的距离为

可设直线方程为-=1,

由点到直线的距离公式得=,解得a=,b=1,

所以双曲线方程为-y2=1

(2)假设存在直线y=kx+5(k≠0,)与双曲线交于相异两点C,D,使得C,D两点都在以A为圆心的同一个圆上

得(1-3k2)x2-30kx-78=0;可得

因为C,D两点都在以A为圆心的同一个圆上;所以有|AC|=|AD|,

所以直线CD的中点坐标为M()

因为AM⊥CD,所以=-,解得k=±

所以直线方程为:y=±x+5

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题型:简答题
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简答题

(文)已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,一条渐近线方程为3x+4y=0,若双曲线经过点P(-4,-6),求此双曲线的方程.

正确答案

∵渐近线方程为3x+4y=0,

设双曲线方程为9x2-16y2=λ,

将P(-4,-6)的坐标代入方程得

9(-4)2-16(-6)2=λ,

求得λ=-16×27,

所以双曲线方程为9x2-16y2=-16×27.

-=1.

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题型:简答题
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简答题

已知双曲线-=1 (a>0,b>0)的一条渐近线方程为x+y=0,左、右顶点分别为A、B,右焦点为F,|BF|=1,过F作直线交此双曲线的右支于P、Q两点.

(1)求双曲线的方程;

(2)若=-17,求△PBQ的面积S.

正确答案

(1)由题意得:

解得:

∴双曲线方程为x2-=1--------------------------------------------------------(4分)

(2)第一种情况:若直线PQ的斜率不存在,则直线PQ的方程为x=2P(2,3)、Q(2,-3),

=13≠-17,不合题意;--------------------------------(6分)

第二种情况:若直线PQ的斜率存在,设P(x1,y1),Q(x2,y2),

直线PQ的方程为y=k(x-2),代入双曲线方程可得:(3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0(*) 

且判别式△=36k2+36>0--(7分)

由于P、Q都在双曲线的右支上,所以3-k2≠0,且,解得k3>3-----------(8分)

所以y1y2=k(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=-

=(x1,y1),=(x1,y2),由于=-17,所以x1x2+y1y2=-17

所以-=-17,得k2=4>3

此时x1+x2=16,x1x2=19,y1y2=-36,y1+y2=k(x1+x2-4)=12k

所以S△PBQ=•|BF|×|y1-y2|=×1×==6

即△PBQ的面积是6-----------(11分)

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题型:简答题
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简答题

已知双曲线-=1  (a>0,b>0)经过点A(),其渐近线方程为y=±2x.

(1)求双曲线的方程;

(2)设F1,F2是双曲线的两个焦点,证明:AF1⊥AF2

正确答案

(1)依题意…(3分)      

解得 …(5分)

所以双曲线的方程为x2-=1.…(6分)

(2)由(1)得,F1(-,0),F2(,0),

从而以F1F2为直径的圆的方程是x2+y2=5.…(9分)

因为点A()的坐标满足方程x2+y2=5,

故点A在以F1F2为直径的圆上,所以AF1⊥AF2.…(12分)

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题型:填空题
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填空题

与双曲线-=1有共同渐近线,且过A(-3,4)的双曲线方程是______.

正确答案

由题意可设所求的双曲线方程为:-=λ(λ≠0)

双曲线过A(-3,4),则可得-=λ即λ=-1

∴所求的双曲线的方程为:-=1

故答案为:-=1

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