热门试卷

（1）双曲线C的右准线l的方程为：x=，两条渐近线方程为：y=±x．

∴两交点坐标为　P(，)、Q(，-)．

设M为PQ与x轴的交点

∵△PFQ为等边三角形，则有|MF|=|PQ|（如图）．

∴c-=•(+)，即=．

解得　b=a，c=2a．

∴e==2．

（2）由（1）得双曲线C的方程为-=1．直线方程为y=ax+a

把y=ax+a代入得(a2-3)x2+2a2x+6a2=0．

依题意　

∴a2＜6，且a2≠3．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

∴x1+x2=，x1x2=

∴双曲线C被直线y=ax+b截得的弦长为l====

∵l==12a．

∴144a2=(1+a2)•．

整理得　13a4-77a2+102=0．

∴a2=2或a2=．

∴双曲线C的方程为：-=1或 -=1．

（I）由题意可知，双曲线-=1得右准线方程为x=（1分）

经过第一象限的双曲线的渐近线方程y=x（1分）

联立可得点P（，）（1分）

∵点P的纵坐标为y=

∴=

∵e==

∴a=，b=1（2分）

∴所求的双曲线的标准方程为-y2=1（1分）

（II）由（I）知P（，），双曲线的焦点的坐标F（2，0）

而F（2，0）也是抛物线y2=8x的焦点，设PF所在的直线方程为y=-(x-2)

与抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）（1分）

联立可得，3x2-20x+12=0（1分）

∴x1+x2=（1分）

∴AB=x1+x2=p=（1分）

∴直线PF被抛物线截得的线段长（1分）

（1）∵双曲线的离心率为，∴=，∴=2

∴双曲线的渐近线方程为y=±2x…（3分）

（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P（x，y）

∵=2，

∴x=，y= 

即P(，  )

由（1）可知，设所求双曲线方程为-=1

∵点P在双曲线，上∴8x1•x2=9a2①…（5分）

又∵S△OP1P2=9，∴|OP1|•|OP2|•sin∠P1OP2=9②

由①②得a2=4…（7分）

∴所求双曲线方程为-=1…（8分）

设直线l：y=（x-c），令x=0，得P（0，-c），

设λ==2，Q（x，y），则有，

又Q（c，-c）在双曲线上，

∴b2（c）2-a2（-c）2=a2b2，

∵a2+b2=c2，∴(1+)-(+1)=1，

解得=3，又由ab=，可得，

∴所求双曲线方程为x2-=1．

解；（1）因为M（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线-=1（a＞0，b＞0）上一点，

则-=1，得到=，故=，

又A1（-a，0），A2（a，0），

则kMA1-kMA2=-===，

及=e2-1=，解之得e=；

（2）取右焦点F（c，0），一条渐近线y=x，即bx-ay=0，

由于该双曲线的焦点到渐近线的距离是12，则有==b=12，

由（1）知=，∴a=5，

故双曲线的方程是-=1．

解：（1）双曲线C1：左顶点A（-），渐近线方程为：y=±x

过A与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=，所

以，解得

所以所求三角形的面积为S=。

（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，因直线PQ与已知圆相切，故，即b2=2，

由，得x2-2bx-b2-1=0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，

又y1y2=（x1+b）（x2+b）

所以=x1x2+y1y2=2x1x2+b（x1+x2）+b2=2（-1-b2）+2b2+b2=b2-2=0

故PO⊥OQ。

（3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=，

则O到直线MN的距离为

当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），

则直线OM的方程为y=，

由得，

所以

同理，

设O到直线OM的距离为d，

因为（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，

所以==3，即d=

综上，O到直线MN的距离是定值。

（1）∵e==，

∴c=a，

∵2b=2，

∴b=，

∵c2-a2=2，

∴a=1，

∴所求双曲线方程为 x2-=1；

（2）由，

消y得 x2-2mx-m2-2=0，

△=4m2+4（m2+2）=8（m2+1）＞0，

x1+x2=2m，

∴AB中点（m，2m），

代入圆方程得m2+4m2=5，

∴m=±1．