热门试卷

（1）依题意，l方程+=1，即bx-ay-ab=0，由原点O到l的距离为，得

==，又e==，

∴b=1，a=．

故所求双曲线方程为-y2=1．

（2）显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y=kx-1，

则点M、N坐标（x1，y1），（x2，y2）是方程组的解，

消去y，得（1-3k2）x2+6kx-6=0．①

依题意，1-3k2≠0，由根与系数关系，

知x1+x2=，x1x2=

•=（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2

=x1x2+（kx1-1）（kx2-1）

=（1+k2）x1x2-k（x1+x2）+1

=-+1=+1．

又∵•=-23，

∴+1=-23，k=±，

当k=±时，方程①有两个不相等的实数根，

∴方程为y=x-1或y=-x-1．

渐近线方程为y=±x，

设双曲线方程为x2-3y2=λ，

将点（3，-2）代入求得λ=-3，

所以双曲线方程为y2-x2=1．

解（I）根据题意a2=4，即a=2，

又，a2+b2=c2，||PF1|-|PF2||=2a=4，

又|PF1|•|PF2|=|F1F2|2=4c2，|PF2|＜4，得

|PF2|2+4|PF2|-4c2=0在区间（0，4）上有解，即4c2=|PF2|2+4|PF2|有解

又|PF2|＜4，故|PF2|2+4|PF2|＜32

所以c2＜8

因此b2＜4，又b∈N*，

所以b=1

（II）双曲线方程为-y2=1，

右顶点坐标为（2，0），即F（2，0）

所以抛物线方程为y2=8x （1）

直线方程为y=x-2 （2）

由（1）（2）两式联立，

解得和

所以弦长|AB|==16=16

设P为界线上的任意一点，则有PA+MA=PB+MB，即PA-PB=MB-MA=2（定值），

∴界线为以A，B为焦点的双曲线的右支

如图所示，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，

设所求双曲线的标准方程为-=1=1（a＞0，b＞0）

∵2a=2，2c=AB==10，可得a=1，c=5，b==2

∴双曲线方程为x2-=1，

∵P为以曲线右支上一点，且|AD|≤|BC|，可得x＞0

即所求界线的方程为x2-=1，（x＞0）．

（1）在双曲线C：-y2=1，把1换成0，

所求渐近线方程为y-x=0， y+x=0

（2）设P的坐标为（x0，y0），则Q的坐标为（-x0，-y0），

λ=•=(x0，y0-1)•(-x0，-yo-1)=--+1=-+2.

∵|x0|≥

∴λ的取值范围是（-∞，-1]．

（3）若P为双曲线C上第一象限内的点，

则直线l的斜率k∈(0，).

由计算可得，当k∈(0，]时，s(k)=；

当k∈(，)时，s(k)=.

∴s表示为直线l的斜率k的函数是s(k)=

（1）联立方程ax+1=y与3x2-y2=1，消去y得：（3-a2）x2-2ax-2=0（*）

又直线与双曲线相交于A，B两点，3-a2≠0，所以a≠±，∴△＞0⇒-＜a＜．

又依题OA⊥OB，令A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则y1y2=-x1x2．

且y1y2=（ax1+1）（ax2+1）=a2x1x2+a（x1+x2）+1=-x1x2⇒x1x2（1+a2）+a（x1+x2）+1=0，而由方程（*）知：x1+x2=，x1x2=代入上式得-++1=0⇒a2=1⇒a=±1．满足条件．

（2）假设这样的点A，B存在，则l：y=ax+1斜率a=-2．又AB中点(，)在y=x上，则y1+y2=(x1+x2)，

又y1+y2=a（x1+x2）+2，

代入上式知⇒a=6这与a=-2矛盾．

故这样的实数a不存在．

解：（1）由已知，点A（m，2m）和点B（n，﹣2n），设P（x，y）

由=λ，得

，

故P点的坐标为（，），

将P点的坐标代入x2﹣=1，化简得，mn=．

（2）设∠AOB=2θ，则tanθ=2，所以sin2θ=．

又|OA|=m，|OB|=，

所以S△AOB=|OA||OB|sin2θ=2mn==，

记S（λ）=，λ∈[，3]）．

则S（λ）在λ∈[，3]）上是减函数，在λ∈[1，3]上是增函数．

所以，当λ=1时，S（λ）取最小值2，当λ=3时，S（λ）取最大值．

所以△AOB面积的取值范围是[2，]．

由C与l相交于两个不同的点，可知方程组有两组不同的解，

消去y，并整理得（1-a2）x2+2a2x-2a2=0，

∴解得0＜a＜，且a≠1，

而双曲线C的离心率e==，从而e＞，且e≠，

故双曲线C的离心率e的取值范围为(，)∪(，+∞)

由已知，得-=1

∴实轴长为，虚轴长为4，

焦点坐标为（±，0）

顶点坐标为（±，0）

离心率为

渐进方程为y=±x

由题意k＞0，c=，

渐近线方程l为y=x，

准线方程为x=±，于是A（，），

直线FA的方程为y=，

于是B（-，）．

由B是AC中点，则xC=2xB-xA=-，

yC=2yB-yA=．

将xC、yC代入方程kx2-y2=1，得

k2c4-10kc2+25=0．

解得k（1+）=5，则k=4．

所以双曲线方程为：4x2-y2=1．

（1）设直线A1S与直线A2T的交点H的坐标为（x，y），S（x0，y0），T（x0，-y0）

由A1、H、S三点共线，得：(x0+)y=y0(x+)…③

由A2、H、T三点共线，得：(x0-)y=-y0(x-)…④

联立③、④，解得x0=，y0=．

∵S（x0，y0）在双曲线上，

∴-()2=1．

∴轨迹E的方程为：+y2=1(x≠0，y≠0)．

（2）由（1）知直线AB不垂直于x轴，设直线AB的斜率为k，

M（，m）（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．

由得（x1+x2）+2（y1+y2）•=0，

则1+4mk=0，得：k=-．

此时，直线PQ斜率为k1=4m，PQ的直线方程为：y-m=4m(x-)．

代入椭圆方程消去y，整理得（32m2+1）x2-16m2x+2m2-2=0．

又设P（x3，y3），Q（x4，y4），

则：x3+x4=，x3x4=．

∴•=(x3-1)(x4-1)+y3y4=x3x4-（x3+x4）+1+（4mx3-m）（4mx4-m）

=(1+16m2)x3x4-(4m2+1)(x3+x4)+m2+1=(1+16m2)-(4m2+1)+m2+1

=

令t=1+32m2，

∵点M(，m)在椭圆内，∴+m2＜1，

又∵m≠0，

∴0＜m2＜，∴1＜t＜29，

则•=--∈(-1，-)．

∴，•的取值范围为(-1，-)

（1）把交点M(，)代入抛物线C1：y2=2px得=2p×，解得p=2，∴抛物线C1的方程是y2=4x．

（2）∵抛物线y2=4x的准线方程是x=-1，

∴双曲线C2：-=1的左焦点是（-1，0）．

设双曲线C2的方程为-=1，

把交点M(，)代入，得-=1，整理得9a4-37a2+4=0．

解得a2=，或a2=4（舍去）．

∴b2=1-=．

∴双曲线C2的方程是-=1．

根据题意，双曲线的方程为x2-4y2=1；

则其渐近线方程为x2-4y2=0；

化简可得x±2y=0；

故x2-4y2=1的渐近线为：x±2y=0．

设M（x0，y0）是双曲线右支上满足条件的点，且它到右焦点F2的距离等于它到左准线的距离|MN|，

即|MF2|=|MN|，再由双曲线定义可知  =e∴=e，

由焦点半径公式得 =e∴x0=，

而  x0≥a  ∴≥a，即  e2-2e-1≤0，解得1-≤e≤+1，

但 e＞1 ∴1＜e≤+1，即离心率e的取值范围是（1，+1）．