热门试卷

∵|AF2|-|AF1|=2a，|BF2|-|AF1|=2a，…（2分）

∴（|AF2|-|AF1|）+（|BF2|-|BF1|）=4a，…（4分）

又|AF1|+|BF1|=|AB|=m，

∴|AF2|+|BF2|=4a+（|AF1|+|BF1|）=4a+m．…（6分）

∴△ABF2的周长等于|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m．…（8分）

依题意，可设双曲线方程为-=1，（a＞0，b＞0），c2=a2+b2（c＞0）

（Ⅰ）∵双曲线E经过点P（-4，6），离心率e=2，

∴-=1，=4

∴a2=4，b2=12

∴E的方程为-=1

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，c=4，设F1（-4，0），F2（4，0），

∵P（-4，6），∴PF1⊥x轴

设∠F1PF2的角平分线交x轴于点M（m，0）

由角平分线的性质可知=，即=，∴m=1

∴M（1，0）

故所求直线方程为y=（x-1），即6x+5y-6=0．

设与双曲线x2-4y2=4有共同的渐近线的双曲线的方程为x2-4y2=λ，

∵该双曲线经过点（2，），

∴λ=4-4×5=-16．

∴所求的双曲线方程为：x2-4y2=-16，

整理得：-=1．

∵中心在原点，焦点在x轴上的双曲线，过点实轴长是虚轴长的3倍且实轴长是虚轴长的3倍，

∴，

解得a=3，b=1，c=

∴双曲线C的标准方程为 -y2=1，

离心率e==．

（1）依题意，双曲线的两焦点F1（-，0），F2（，0），两条渐近线方程分别是x-2y=0和x+2y=0．

（2）设P（x1，y1）是双曲线上任意一点，该点P（x1，y1）到两条渐近线的距离分别是和，

∵P（x1，y1）为双曲线C上的任意一点，

∴x12-4y12=4，

∴它们的乘积是•==．

∴点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数．

当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为：x2-y2=k（k＞0）

∵两顶点之间的距离为6，

∴2=6，∴k=，

∴双曲线的方程为-=1；

当双曲线的焦点在y轴上

设双曲线的方程为：y2-x2=k（k＞0）

两顶点之间的距离为6，

∴2=6，∴k=9，

∴双曲线的方程为-=1．

∴双曲线的方程为-=1或-=1．

（1）设双曲线方程为-=1（a＞0，b＞0），则

∵双曲线的离心率为，且过点(4，-，

∴

∴a2=b2=6

∴双曲线方程为-=1；

（2）设双曲线方程为-=λ，代入点M(-3，2)，可得-=λ

∴λ=，∴双曲线方程为-=

即-=1．

在Rt△PF2F1中，设|PF1|=d1，|PF2|=d2，∵∠PF1F2=30°

∴∴d2=2a

∵|F2F1|=2c

∴tan30°=

∴=，即=

∴(

b

a

)2=2

∴=

∴双曲线的渐近线方程为y=±x

（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0）．

双曲线x2-=1的焦点坐标分别为（-2，0）（2，0），

∴椭圆焦点坐标分别为（-2，0）（2，0），∴c=2，即a2=b2+4，

又椭圆过点P（0，2），则0+=1，

∴b2=4，得a2=8，

∴所求椭圆方程的标准方程为+=1；

（2）双曲线渐近线方程：y=±x，

设直线l：y=±x+m，

代入椭圆方程得：7x2±4mx+2m2-8=0，

由相切得：△=48m2-28（2m2-8）=0，解得m=±2

∴直线l的方程是：y=±x±2．

（I）由题意，a=2，=，∴b=1

∴双曲线的方程为-y2=1

设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线方程，可得（4k2-1）x2+16kx+20=0

∵过点B（0，2）且斜率为k的直线l与该双曲线交于不同的两点P，Q

∴4k2-1≠0且△=256k2-80（4k2-1）＞0，即k2≠且k2＜

解得-＜k＜且k≠±；

（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，

∵+=（x1+x2，y1+y2），=（-2，2），+与垂直

∴-2（x1+x2）+2（y1+y2）=0

∴（x1+x2）（k-1）+4=0

∴+4=0

∴k=

∴存在常数k=，使得向量+与垂直．

（1）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0）．

∵c=1，

∴a2-b2=1①，

∵点(，1)在椭圆E上，

∴+=1②，

由①、②得：a2=4，b2=3，

∴椭圆E的方程为：+=1．

（2）：由题意可设所求的双曲线方程为：x2-=λ，（λ≠0）

把点（2，2）代入方程可得λ=2，

故所求的双曲线的方程是x2-=2，

化为标准方程即得 -=1．