热门试卷

解：（1）由双曲线的定义可知，曲线E是以为焦点的双曲线的左支，

且，易知

故曲线的方程为

设

由题意建立方程组

消去y，得

又已知直线与双曲线左支交于两点，有

解得

又∵

依题意得

整理后得

∴或

但

∴

故直线AB的方程为

设

由已知

得

∴，

又，

∴点

将点C的坐标代入曲线E的方程，得

得

但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意

∴

C点的坐标为

C到AB的距离为

∴的面积。

解：(1)设C(x，y)，因为，

则(x，y)=m(1，0)+n(0，-2)，

∴，

∵m-2n=1，

∴x+y=1，即点C的轨迹方程为x+y-1=0．

(2)由得，

由题意知，

设，则，，

因为以MN为直径的圆过原点，

∴，

即，

∴，

即，

∴为定值．

(3)∵，

∴，

∵，

∴，

∴，及，∴，

从而0＜2a≤1；

∴双曲线实轴长的取值范围是(0，1]。

解：（1）设C（x，y），因为，

则，

∴，

∵m-2n=1，

∴x+y=1，即点C的轨迹方程为x+y-1=0。

（2）由，得，

由题意，

设，

则，

∵以MN为直径的圆过原点，

∴，即，

∴，

即，

∴为定值。

（3）

∴，

∴，

∴，即，，

∴，即双曲线实轴长的取值范围是。

（1）设OP的方程为 y=kx，AR的方程为 y=(x-a)，

解得 =(，)，同理可得 =(，)．

∴|•|=|+|=|．

设=(m，n)，则由双曲线方程与OP方程联立解得：

∴ 

∵点P在双曲线上，∴b2-a2k2＞0，无论点P在什么位置，总有  ||2=|•|．

（2）由条件得：=4ab，即  k2=＞0，

∴4b＞a，∴e==＞=，即 e＞．

解：(1)设动点为M，其坐标为(x，y)，

当x≠±a时，由条件可得，

即mx2-y2=ma2(x≠±a)，

又A1(-a，0)、A2(a，0)的坐标满足mx2-y2=ma2，

故依题意，曲线C的方程为mx2-y2=ma2，

当m＜-1时，曲线C的方程为，C是焦点在y轴上的椭圆；

当m=-1时，曲线C的方程为x2+y2=a2，C是圆心在原点的圆；

当-1＜m＜0时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；

当m＞0时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线．

(2)由(1)知，当m=-1时，C1的方程为x2+y2=a2；

当m∈(-1，0)∪(0，+∞)时，C2的两个焦点分别为，

对于给定的m∈(-1，0)∪(0，+∞)，C1上存在点N(x0，y0)(y0≠0)使得S=|m|a2的充要条件是

，

由①得0＜|y0|≤a，由②得，

当，即，或时，存在点N，使S=|m|a2；

当，即，或时，不存在满足条件的点N；

当时，

由，-y0)，

可得，

令，

则由，

可得，

从而，

于是由S=|m|a2，可得，即，

综上可得：当时，在C1上，存在点N，使得S=|m|·a2，且tanF1NF2=2；

当时，在C1上，存在点N，使得S=|m|·a2，且tanF1NF2=-2；

当时，在C1上，不存在满足条件的点N．

解：（1）由点M是BN中点，又，

可知PM垂直平分BN，所以，|PN|=|PB|，

又|PA|+|PN|=|AN|，

所以，|PA|+|PB|=4，|AB|=2，

由椭圆定义知，点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，

设椭圆方程为（a>b>0），

由2a=4，2c=2，可得a2=4，b2=3，

可知动点P的轨迹方程为．

（2）设点P（x0，y0），PB的中点为Q，则，

即以PB为直径的圆的圆心为，

半径为r1=1-x0，

又圆x2+y2=4的圆心为O（0，0），半径r2=2，

又

由0＜x0＜1知，|OQ|＜r1+r2，

∴以PB为直径的圆与圆x2+y2=4相交。