圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题

如果正△ABC中，D∈AB，E∈AC，向量=，那么以B，C为焦点且过点D，E的双曲线的离心率是______．

正确答案

由向量 =，可得DE是△ABC的中位线，

设正△ABC的边长为2c，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，

则E的坐标为（，c），

由题意知可设双曲线的方程为-=1，

把E的坐标代入双曲线的方程得-=1，∴4a4-8a2c2+c4=0，

∵＞1，∴=4+2 ，∴=+1，

故答案为：+1．

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题型：填空题

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填空题

双曲线的右焦点是抛物线的焦点，则抛物线的标准方程是（）。

正确答案

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题型：填空题

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填空题

已知F1，F2为双曲线-=1(a＞0，b＞0且a≠b)的两个焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点．下面四个命题（　　）

A、△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=a上；

B、△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=b上；

C、△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上；

D、△PF1F2的内切圆必通过点（a，0）．

其中真命题的代号是______（写出所有真命题的代号）．

正确答案

设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，

则|PA|=|PB|，|F1A|=|F1M|，|F2B|=|F2M|，

又点P在双曲线右支上，

所以|PF1|-|PF2|=2a，故|F1M|-|F2M|=2a，而|F1M|+|F2M|=2c，

设M点坐标为（x，0），

则由|F1M|-|F2M|=2a可得（x+c）-（c-x）=2a

解得x=a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，

故A、D正确．

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题型：填空题

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填空题

已知动点P与双曲线x2-y2=1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为-，则动点P的轨迹方程为______．

正确答案

（1）∵x2-y2=1，∴c=．设|PF1|+|PF2|=2a（常数a＞0），2a＞2c=2，∴a＞

由余弦定理有cos∠F1PF2==-1

∵|PF1||PF2|≤（）2=a2，

∴当且仅当|PF1|=|PF2|时，|PF1||PF2|取得最大值a2．

此时cos∠F1PF2取得最小值为-1，

由题意-1=-，解得a2=3，

∴b2=a2-c2=3-2=1

∴P点的轨迹方程为+y2=1．

故答案为：+y2=1

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题型：填空题

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填空题

过双曲线-=1左焦点F1的弦AB长为6，则△ABF2（F2为右焦点）的周长是______．

正确答案

由双曲线 -=1的标准方程可得 a=4，由双曲线的定义可得：

AF2-AF1=2a，BF2 -BF1=2a，

∴AF2+BF2 -AB=4a=16，即AF2+BF2 -6=16，AF2+BF2 =22．

△ABF2（F2为右焦点）的周长是：

（ AF1 +AF2 ）+（ BF1+BF2 ）=（AF2+BF2 ）+AB=22+6=28．

故答案为：28．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线的离心率为，右准线方程为．

（1）求双曲线C的方程；

（2）已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A、B，与y轴交于点M，且，

求实数m的值．

正确答案

解：（1）由题意，得解得

∴b2=c2﹣a2=2．

∴所求双曲线C的方程为

（2）设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）

由得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0（其中判别式△＞0）

∴x1+x2=2m，① x1x2=﹣m2﹣2．②

设M（0，y0），则．

由，得．

③由①②③，解得m=±1

所以，m=±1

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题型：填空题

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填空题

以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是（）。

正确答案

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题型：简答题

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简答题

设P（a，b）（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点(1，b)的直线，记Q是直线l与抛物线x2=2py（p≠0）的异于原点的交点，

（1）若a=1，b=2，p=2，求点Q的坐标；

（2）若点P（a，b）（ab≠0）在椭圆+y2=1上，p=，求证：点Q落在双曲线4x2-4y2=1上；

（3）若动点P(a，b)满足ab≠0，p=，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由。

正确答案

解：（1）当a=1，b=2，p=2时，

解方程组，

即点Q的坐标为（8，16）；

（2）由方程组，即点Q的坐标为，

∵P是椭圆上的点，即，

，

因此点Q落在双曲线上。

（3）设Q所在的抛物线方程为，

将代入方程，得，

当c=0时，，此时点P的轨迹落在抛物线上；

当，此时点P的轨迹落在圆上；

当，此时点P的轨迹落在椭圆上；

当qc＜0时，，此时点P的轨迹落在双曲线上。

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题型：填空题

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填空题

给出下列三个命题：

①若直线l过抛物线的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为2；

②双曲线C：的离心率为；

③若，则这两圆恰有2条公切线；

④若直线l1：a2x-y+6=0与直线l2：4x-（a-3）y+9=0互相垂直，则a=-1；

其中正确命题的序号是（）（把你认为正确命题的序号都填上）。

正确答案

②③

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题型：填空题

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填空题

已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（）。

正确答案

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题型：填空题

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填空题

过点A（4，-1）和双曲线-=1右焦点的直线方程为______．

正确答案

由于a2=9，b2=16，∴c2=25，故右焦点为（5，0）．

所求直线方程为y=（x-5），即x-y-5=0．

故答案为：x-y-5=0

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题型：填空题

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填空题

连接双曲线和（其中a，b>0）的四个顶点的四边形面积为S1，连接四个焦点的四边形的面积为S2，则当的值为最大时，双曲线的离心率为（）。

正确答案

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题型：填空题

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填空题

设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1、F2，P是直线x=4上的动点，若∠F1PF2=θ，则θ的最大值为（）。

正确答案

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题型：填空题

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填空题

双曲线-=1(a＞0，b＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点（1，2）在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是______．

正确答案

双曲线-=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为：

y=x，

∵点（1，2）在“上”区域内，

∴× 1＜2，即＜ 2，

∴e== ＜=，

又e＞1，

则双曲线离心率e的取值范围是(1，)．

故答案为：(1，)．

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题型：填空题

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填空题

给出问题：F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离。某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|-|PF2||=8，即|9-|PF2||=8，得|PF2|=1或17。该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在空格内，若不正确，将正确的结果填在空格内（）。

正确答案

|PF2|=17

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正确答案

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