热门试卷

解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，

长轴长2a=6的椭圆，

因此半焦距c=2，长半轴a=3，

从而短半轴b=，

所以椭圆的方程为；

(Ⅱ)由，

得，①

因为cos∠MPN≠1，P不为椭圆长轴顶点，

故P、M、N构成三角形，

在△PMN中，|MN|=4，

由余弦定理有

，②

将①代入②，

得，

故点P在以M、N为焦点，

实轴长为的双曲线上，

由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足，

所以由方程组，

即P点坐标为

或。

（1）C1的左焦点为（-，0），写出的直线方程可以是以下形式：

x=-或y=k(x+)，其中|k|≥．

（2）证明：因为直线y=kx与C2有公共点，

所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得|k|=＞1．

若原点是“C1-C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．

考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx（|k|＞1）．

显然直线x=0与C1无公共点．

如果直线为y=kx（|k|＞1），则由方程组，得x2=＜0，矛盾．

所以直线y=kx（|k|＞1）与C1也无公共点．

因此原点不是“C1-C2型点”．

（3）证明：记圆O：x2+y2=，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，

故可设l：y=kx+b．

若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=-x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=-kx±1之间，

从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1．

因为l与C1由公共点，所以方程组有实数解，

得（1-2k2）x2-4kbx-2b2-2=0．

因为|k|＞1，所以1-2k2≠0，

因此△=（4kb）2-4（1-2k2）（-2b2-2）=8（b2+1-2k2）≥0，

即b2≥2k2-1．

因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离d=，

所以=d2＜，从而＞b2≥2k2-1，得k2＜1，与|k|＞1矛盾．

因此，圆x2+y2=内的点不是“C1-C2型点”．

解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2，

又点A（1，）在椭圆上，

因此，得b2=3，于是c2=1，

所以椭圆C的方程为，焦点F1（-1，0），F2（1，0）。

（2）设椭圆C上的动点为K（x1，y1），线段F1K的中点Q（x，y）满足：，

即x1=2x+1，y1=2y，

因此，

即为所求的轨迹方程。

（3）类似的性质为：若M、N是双曲线：上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值，

设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（-m，-n），其中，

又设点P的坐标为（x，y），

由，得

kPMkPN=，

将代入，得kPMkPN=。

（1）设所求椭圆方程为+=1

依题意有，解得b2=9，a2=45

故所求椭圆的方程为+=1…（4分）

（2）设所求双曲线方程为-=1，依题意知a2=36，b2=45-36=9

故所求双曲线方程为-=1…（8分）