热门试卷

解：(Ⅰ)设C的标准方程为，

则由题意，

又，

因此，

C的标准方程为，

C的渐近线方程为，即x-2y=0和x+2y=0。

 (Ⅱ)如图，由题意点E(xE，yE)在直线l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上，

因此有x1xE+4y1yE=4，x2xE+4y2yE=4，

故点M、N均在直线xEx+4yEy=4上，

因此直线MN的方程为xEx+4yEy=4，

设G、H分别是直线MN与渐近线x-2y=0及x+2y=0的交点，

由方程组及，

解得，

故，

因为点E在双曲线上，

有，

所以。

解：如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系

设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（-1020，0），B（1020，0），C（0，1020）

设P（x，y）为巨响生源点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，

故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=-x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，

故|PB|- |PA|=340×4=1360

由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上

依题意得a=680，c=1020

∴

故双曲线方程为

用y=-x代入上式，得

∵|PB|>|PA|

∴

即

故。

答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心。

解：（1）设双曲线方程为

由，同向，

∴渐近线的倾斜角为（0，），

∴渐近线斜率为：

∴|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）2|AB|，∴

∴

可得：，

而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=

而由对称性可知：OA的斜率为k=tan

∴；

∴∴

（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为﹣=1，c=b，

∴AB的直线方程为 y=﹣2（x﹣b），

代入双曲线方程得：15x2﹣32bx+84b2=0，

∴x1+x2=，x1x2=，

4=，16=﹣，

∴b2=9，所求双曲线方程为：﹣=1．

解：（1）∵e=，

∴可设双曲线方程为x2-y2=λ

∵过点（4，-），

∴16-10=λ，即λ=6

∴双曲线方程为x2-y2=6。

（2）∵

∴

=-3+m2

∵M点在双曲线上，

∴9-m2=6，即m2-3=0

∴。

（3）△F1MF2的底|F1F2|=4，

由（2）知m=±

∴△F1MF2的高h=|m|=，

∴=6

解：（Ⅰ）依题意可设双曲线方程为，

则，

∴所求双曲线方程为；

（Ⅱ）A1（-3，0），A2（3，0），F（5，0），

设P（x，y），，

∴（x+3，y），，

∵A1，P，M三点共线，

∴，

∴，即，

同理得，

∴，，

 ，

，

∴，

∴，

即=0（定值）。

（1）当双曲线的焦点位于x轴上时，设C：-=1（a＞0，b＞0），

所以A1（-a，0），A2（a，0），

所以kPA1•kPA2=•==1，

解得a2=3．…2分

将a2=3，P（2，1）代入双曲线方程，得-=1，解得b2=3．…2分

所以双曲线C的标准方程为-=1．…2分

（2）当双曲线的焦点位于y轴上时，设C：-=1（a＞0，b＞0），

所以A1（0，-a），A2（0，a），

所以kPA1•kPA2=•==1，

解得a2=-3（舍去）．…2分

综上，所求双曲线C的标准方程为-=1．

（1）焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为-=1．

由题意，得解得a=8，c=10．

∴b2=c2-a2=100-64=36．

所以焦点在x轴上的双曲线的方程为-=1．

（2）当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为-=1

由题意，得解得a=3，b=2．

所以焦点在x轴上的双曲线的方程为-=1．

同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程为-=1．

（1）依题意得，双曲线的中心在原点，焦点为F1（5，0），F2（-5，0），

∴c=5，

又双曲线过点（3，0），得点（3，0）是双曲线实轴的一个顶点，

∴a=3，

∴b==4，

∵双曲线焦点在焦点在x轴上，

∴双曲线的标准方程为：-=1

（2）由（1）知a=3，c=5，

∴双曲线的离心率为：e==，

准线方程为：x=±=±．

解：(Ⅰ)由题设知，l的方程为：y=x+2，

化入C的方程，并化简，得(b2-a2)x2-4a2x-4a2-a2b2=0，

设B（x1，y1）、D（x2，y2），

则，①

由M(1，3)为BD的中点知，

故，即b2=3a2，②

故，所以C的离心率。

(Ⅱ)由①、②知，C的方程为：3x2-y2=3a2，

A(a，0)，F(2a，0)，x1+x2=2，x1·x2=，

故不妨设x1≤-a，x2≥a，

，

，

|BF|·|FD|=(a-2x1)(2x2-a)=-4x1x2+2a(x1+x2)-a2=5a2+4a+8，

又|BF|·|FD|=17，

故5a2+4a+8=17，解得a=1或a=（舍去），

故，

连结MA，则由A(1，0)，M(1，3)知|MA|=3，

从而MA=MB=MD，

且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切．

所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．