热门试卷

解：（Ⅰ）∵四边形OFPM是，

∴，

作双曲线的右准线交PM于H，则，

又，

。

（Ⅱ）当λ=1时，e=2，c=2a，，

双曲线为，

设P，则，

，

所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，

代入到双曲线方程得：，

又|AB|=12，由得：

，解得a=1，则，

所以为所求。

解：(1)四边形F2ABO是平行四边形，

∴，即0，

∴，∴平行四边形F2ABO是菱形，

如图，则r2=d1=c，r1=2a+r2=2a+c，

由双曲线定义得，

∴e=2(e=-1舍去)；

(2)由，

双曲线方程为1，把点代入得，

∴双曲线的方程为。

(3)D1(0，-3)，D2(0，3)，设l的方程为y=kx-3，，

则由，

因为l与双曲线有两个交点，∴，

∴，

∴，

，

，

∴，满足△＞0，

∴，

故所求直线l的方程为或。

解：（1）设双曲线方程为

右焦点为F（c，0）（c>0），则

不妨设l1：bx-ay=0，l2：bx+ay=0，

则

因为

所以

于是得

又同向

故

所以

解得（舍去）

因此

所以双曲线的离心率。

（2）由a=2b知，双曲线的方程可化为  ①

由l1的斜率为知，直线AB的方程为 ②

将②代入①并化简，得

设AB与双曲线的两交点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则

  ③

AB被双曲线所截得的线段长

 ④

将③代入④，并化简得

而由已知l=4，故b=3，a=6

所以双曲线的方程为。

解：（1）双曲线C1：的左焦点F（-），设M（x，y），

则|MF|2=（x+）2+y2，

由M点是右支上的一点，可知x≥，

所以|MF|==2，得x=，

所以M（）。

（2）左顶点A（-），渐近线方程为：y=±x

过A与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=，

所以，解得

所以所求平行四边形的面积为S=。

（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，因直线PQ与已知圆相切，故，

即b2=k2+1…①，

由，得（2-k2）x2-2bkx-b2-1=0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，

又y1y2=（kx1+b）（kx2+b）

所以=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2==

由①式可知，故PO⊥OQ。

由题意，得双曲线的焦点在y轴上，a=4，b=3，

则c==5，

所以双曲线的实轴、虚轴的长分别为8，6，

顶点坐标为（0，-4），（0，4），

焦点坐标为（0，-5），（0，5），

离心率为e==．

解：（1）双曲线C的渐近线m：，

∴直线l的方程，

直线l与m的距离；

（2）设过原点且平行与l的直线b：kx-y=0，

则直线l与b的距离，

当，

又双曲线C的渐近线为，

∴双曲线C的右支在直线b的右下方，

∴双曲线C右支上的任意点到直线l的距离为；

故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为。

解：（1）a1=2=100，

由S3=（a1+a3）=255，

得a3=3=70

由，得

∴点P3的坐标可以为（2，）。

（2）原点O到二次曲线C：（a>b>0）上各点的最小距离为b，最大距离为a

∵a1=2=a2，

∴d＜0，且an=2=a2+（n-1）d≥b2，

∴≤d＜0

∵n≥3，>0

∴Sn=na2+d在[，0）上递增，

故Sn的最小值为na2+·=。

（3）若双曲线C：，点P1（a，0），则对于给定的n，点P1，P2，…Pn存在的充要条件是d>0

∵原点O到双曲线C上各点的距离h∈[，+∞），且=a2，

∴点P1，P2，…Pn存在当且仅当2>2，即d>0。

解：（1）由C与l相交于两个不同的点，故知方程组

有两个不同的实数解

消去y并整理得（1-a2）x2+2a2x-2a2=0  ①

所以

解得且

双曲线的离心率

∵且

∴且

即离心率e的取值范围为。

（2）设，

∵

∴

因此得

由于x1+x2都是方程①的根，且1-a2≠0

所以

消去x2得

由

所以。

（1）∵e=2∴=2（1分）

右焦点F（c，0）到渐近线bx-ay=0的距离d==b=（3分）

从而得a=1∴双曲线方程是x2-=1（5分）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）

由得（3-k2）x2+10k2x-25k2-3=0△=100k4+4(3-k2)(25k2+3)＞0(k≠±)①x1+x2=-，x1x2=-

由=λ得，同理=1-+=2-=，•=1-+=()2+()2=(+)2-=-=

解得k=±3满足①∴l方程为3x-y-15=0或3x+y-15=0

解：（1）∵双曲线C1：，

∴焦点坐标为（，0），（，0）

设双曲线C2的标准方程为（a＞0，b＞0），

∵双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）

∴，解得

∴双曲线C2的标准方程为。

（2）双曲线C1的两条渐近线为y=2x，y=-2x

由，可得x=m，y=2m，

∴A（m，2m）

由，可得x=-m，y=m，

∴B（-m，m）

∴

∵

∴m2=3

∴。

解：（Ⅰ）由双曲线E： ，得l：x=﹣4，C（﹣4，0），F（﹣6，0）．

又圆C过原点，所以圆C的方程为（x+4）2+y2=16．   

（Ⅱ）由题意，设G（﹣5，yG），代入（x+4）2+y2=16，得 ，

所以FG的斜率为 ，FG的方程为 ．

所以C（﹣4，0）到FG的距离为 ，

直线FG被圆C截得的弦长为 

（Ⅲ）设P（s，t），G（x0，y0），则由 ，

得 

整理得3（x02+y02）+（48+2s）x0+2ty0+144﹣s2﹣t2=0．①

又G（x0，y0）在圆C：（x+4）2+y2=16上，所以x02+y02+8x0=0   ②

②代入①，得（2s+24）x0+2ty0+144﹣s2﹣t2=0．

又由G（x0，y0）为圆C上任意一点可知，

解得：s=﹣12，t=0．

所以在平面上存在一定点P，其坐标为（﹣12，0）．  

解：(1)由双曲线方程知a=2，b=3，

设|MF1|=r1，|MF2|=r2(r1>r2).

由双曲线定义得r1-r2=2a=4，

两边平方得

即，

即

(2)若∠F1MF2=60°，在△MF1F2中，由余弦定理得

|F1F2|2=(r1-r2)2+r1r2

∴ r1r2=36，则

同理，若∠F1MF2=120°，

(3)由以上结果可知，随着∠F1MF2的增大，△F1MF2的面积将减小，

证明：令∠F1MF2=θ，则

由双曲线定义及余弦定理得

②-①得

∵0<θ<π，

∴

在内，是单调递减的．

∴当θ增大时，减小．

解：（Ⅰ） ∵e=2，

∴c2=4a2，

∵c2=a2+3，

∴a=1，c=2，

∴双曲线方程为，渐近线方程为y=±x；

（Ⅱ）设A（x1， y1），B（x2， y2），AB的中点M（x，y），

∵，

∴=10，

∴=10，

又∵y1=x1，y2=x2，2x=x1+x2，2y=y1+y2，

∴y1+y2=（x1-x2），y1-y2=（x1+ x2），

∴=10，

∴3（2y）2+（2x）2=100，

∴，即为M的轨迹方程。　

解：直线的方程为，即

由点到直线的距离公式，且，

得到点（1，0）到直线l的距离，

同理得到点（-1，0）到直线l的距离

由得，即

于是得，即

解不等式，得

由于

所以e的取值范围是。