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题型:简答题
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简答题

设函数f(x)=sin2x+2cos2x+2.

(I)求f(x)的最小正周期和值域;

(II)求f(x)的单调递增区间.

正确答案

(I)∵f(x)=sin2x+2cos2x+2=sin2x+cos2x+3=2(sin2x+cos2x)+3

=2(cossin2x+sincos2x)=2sin(2x+)+3…(4分)

∴f(x)最小正周期为T=π,…(6分)

∵当x=2kπ+,k∈z时,f(x)有最大值5

当x=2kπ-,k∈z时,f(x)有最小值1                    …(8分)

∴f(x)的值域为[1,5]…(9分)

(II)由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈z

得2kπ-≤2x≤2kπ+kπ-≤x≤kπ+…(12分)

∴f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈z.…(13分)

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题型:简答题
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简答题

已知=(sinx,cosx),=(cosx,cosx),f(x)=

(I)求f(x)的最小正周期和单调递增区间;

(II)在△ABC中,角A满足f(A)=,求角A.

正确答案

(I)f(x)==(sinx,cosx)•(cosx,cosx)

=sinxcosx+cos2x

=sin2x+cos2x+

=sin(2x+)+

函数的最小正周期为T=

由2kπ-≤2x+≤2kπ+ k∈Z

得函数的单调增区间为:[kπ-,kπ+],k∈Z

(II)由f(A)=得sin(2A+)=0,

<2A+

∴2A+=π 或2π

∴A=

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简答题

已知函数f(x)=(cosx+sinx)(cosx-sinx).

(1)求函数f(x)的最小正周期;

(2)若0<α<,0<β<,且f()=,f()=,求sin(α-β)的值.

正确答案

(1)函数f(x)=(cosx+sinx)(cosx-sinx)=cos2x.

所以T==π.

(2)若0<α<,0<β<,且f()=,f()=

所以cosα=,cosβ=

所以sinα==

sinβ==

所以sin(α-β)=sinαosβ-cosαsinβ=×-×=

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简答题

已知函数f(x)=sincos+cos2+

(1)求f(x)的周期和及其图象的对称中心;

(2)在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数f(A)的取值范围.

正确答案

(1)由f(x)=sin+cos+1=sin(+)+1,∴f(x)的周期为4π.

由sin(+)=0,得x=2kπ-,故f(x)图象的对称中心为(2kπ-,1),k∈Z.

(2)由(2a-c)cosB=bcosC,得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,

∴2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC,∴2sinAcosB=sin(B+C),∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sinA,且sinA≠0,

∴cosB=,B=,0<A<.∴+<sin(+)<1,

故函数f(A)的取值范围是(,2).

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简答题

已知函数f(x)=5sinxcosx-5cos2x(其中x∈R).

求:

①函数f(x)的最小正周期;  

②函数f(x)的单调递减区间;

③函数f(x)图象的对称轴.

正确答案

解∵f(x)=sin2x-5=sin2x-cos2x- 

=5(sin2x-cos2x)-=5sin(2x-)-

∴①f(x)最小正周期T=π;

②由2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,

故f(x)的单调减区间为[kπ+ ,  kπ+],k∈z.

③由2x-=kπ+(k∈Z),求得f(x)的对称轴为x=+(k∈Z).

下一知识点 : 三角函数线
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