- 任意角的三角函数的定义
- 共4711题
设函数f(x)=sin2x+2cos2x+2.
(I)求f(x)的最小正周期和值域;
(II)求f(x)的单调递增区间.
正确答案
(I)∵f(x)=sin2x+2cos2x+2=
sin2x+cos2x+3=2(
sin2x+
cos2x)+3
=2(cossin2x+sin
cos2x)=2sin(2x+
)+3…(4分)
∴f(x)最小正周期为T=π,…(6分)
∵当x=2kπ+,k∈z时,f(x)有最大值5
当x=2kπ-,k∈z时,f(x)有最小值1 …(8分)
∴f(x)的值域为[1,5]…(9分)
(II)由2kπ-≤2x+
≤2kπ+
,k∈z
得2kπ-≤2x≤2kπ+
kπ-
≤x≤kπ+
…(12分)
∴f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+
],k∈z.…(13分)
已知=(sinx,cosx),
=(cosx,cosx),f(x)=
•
(I)求f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(II)在△ABC中,角A满足f(A)=,求角A.
正确答案
(I)f(x)=•
=(sinx,cosx)•(cosx,cosx)
=sinxcosx+cos2x
=sin2x+
cos2x+
=sin(2x+
)+
函数的最小正周期为T==π
由2kπ-≤2x+
≤2kπ+
k∈Z
得函数的单调增区间为:[kπ-,kπ+
],k∈Z
(II)由f(A)=得sin(2A+
)=0,
<2A+
<
∴2A+=π 或2π
∴A=或
已知函数f(x)=(cosx+sinx)(cosx-sinx).
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若0<α<,0<β<
,且f(
)=
,f(
)=
,求sin(α-β)的值.
正确答案
(1)函数f(x)=(cosx+sinx)(cosx-sinx)=cos2x.
所以T==π.
(2)若0<α<,0<β<
,且f(
)=
,f(
)=
,
所以cosα=,cosβ=
,
所以sinα==
,
sinβ==
,
所以sin(α-β)=sinαosβ-cosαsinβ=×
-
×
=
.
已知函数f(x)=sin
cos
+cos2
+
.
(1)求f(x)的周期和及其图象的对称中心;
(2)在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数f(A)的取值范围.
正确答案
(1)由f(x)=sin
+
cos
+1=sin(
+
)+1,∴f(x)的周期为4π.
由sin(+
)=0,得x=2kπ-
,故f(x)图象的对称中心为(2kπ-
,1),k∈Z.
(2)由(2a-c)cosB=bcosC,得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,
∴2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC,∴2sinAcosB=sin(B+C),∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sinA,且sinA≠0,
∴cosB=,B=
,0<A<
.∴
<
+
<
,
<sin(
+
)<1,
故函数f(A)的取值范围是(,2).
已知函数f(x)=5sinxcosx-5cos2x(其中x∈R).
求:
①函数f(x)的最小正周期;
②函数f(x)的单调递减区间;
③函数f(x)图象的对称轴.
正确答案
解∵f(x)=sin2x-5
=
sin2x-
cos2x-
=5(sin2x-
cos2x)-
=5sin(2x-
)-
,
∴①f(x)最小正周期T=π;
②由2kπ+≤2x-
≤2kπ+
,k∈Z,得kπ+
≤x≤kπ+
,k∈Z,
故f(x)的单调减区间为[kπ+ , kπ+
],k∈z.
③由2x-=kπ+
(k∈Z),求得f(x)的对称轴为x=
+
(k∈Z).
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