三角恒等变换_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5.知函数，，则下列结论中正确的是（）

A函数的最小正周期为

B函数的最大值为2

C将函数的图象向左平移单位后得的图象

D将函数的图象向右平移单位后得的图象

正确答案

D

解析

将2个函数利用诱导公式先进行化简，，所以=，故A,B都错，所以选D答案。

考查方向

函数的图像与性质。

解题思路

逐一进行判断。

易错点

性质弄错。

知识点

三角函数中的恒等变换应用

1

题型：填空题

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填空题 · 6 分

11.函数的最小正周期是，最小值是．

正确答案

，；

解析

试题分析：利用二倍角公式，两角差的正弦公式转化为一个角的三角函数，然后求出最小正周期和最小值。

∵＝，

∴最小正周期，最小值为：．

故答案为：，.

考查方向

本题主要考察了三角函数恒等变换的应用和最值、正弦函数的图像和性象，本题属于基础题．

解题思路

由三角函数恒等变换化简解析式可得，由正弦函数的图象和性质即可求得最小正周期，最小值．

易错点

三角函数中三角公式的灵活应用.

知识点

三角函数的周期性及其求法三角函数中的恒等变换应用

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

16.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.

（1）求的值；

（2）若，求△ABC的面积.

正确答案

（1）（2）9；

解析

试题分析：（1）利用两角和的正切公式及同角三角函数关系式求解；(2)求出角A的正弦值和余弦值，利用正弦定理求出b，再利用诱导公式和两角和的正弦求出sinC，最后求三角形的面积

（1）由．则，可得，

所以＝．

（2）由，A∈（0，π），可得．

又由及正弦定理，可得，

由sinC＝sin（A＋B）=，可得．

设△ABC的面积为S，则．

考查方向

本题主要考查了三角函数及其变换、正弦定理和余弦定理等基本知识的应用，运算求解能力，本题属于中档题．

解题思路

（1）由两角和与差的正切函数公式及已知可得tanA，由倍角公式及同角三角函数关系式即可得解．

（2）由，A∈（0，π），可得sinA，cosA．又由正弦定理可得b，由sinC=sin（A+B）=，可得sinC，利用三角形面积公式即可得解．

易错点

同角三角函数关系，诱导公式的应用.

知识点

三角函数中的恒等变换应用三角形中的几何计算

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

13.已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________.

正确答案

-1

解析

由已知可得tanα＝－2,2sinαcosα－cos2α＝

考查方向

本题主要考察同角三角函数的基本关系，意在考察考生的转化与划归能力。

解题思路

先根据题中条件求出tanα＝－2，后代人要求的式子既可。

易错点

不会想到利用正切将其建立联系。

知识点

三角函数中的恒等变换应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10．若函数（）的最小正周期为，则在区间上的值域为

A

B

C

D

正确答案

A

解析

，，则，当x在上的值域就为，所以选A选项。

考查方向

本题主要考查了简单的三角恒等变换。

解题思路

先用诱导公式化简，在用辅助角公式合二为一，最后可以求出其值域。

易错点

本题不会使用诱导公式已经辅助角公式。

知识点

三角函数中的恒等变换应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8.设实数a，b，t满足|a+1|=|sinb|=t（）

A若t确定，则唯一确定

B若t确定，则唯一确定

C若t确定，则唯一确定

D若t确定，则唯一确定

正确答案

B

解析

试题分析：根据题中给出的条件确定a，b，t的关系，利用排除法找出答案。

∵实数a，b，t满足|a+1|=t，∴，，

t确定，则为定值．，A，C不正确，

∴若t确定，则唯一确定，

故选B.

考查方向

本题考察了命题的判断真假，本题属于基础题．

解题思路

根据代数式得出，，运用条件，结合三角函数可判断答案．

易错点

利用已知条件找出a，b，t的关系.

知识点

三角函数中的恒等变换应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知的内角的对边分别为，且满足.

17.求的值；

18.若，求的面积.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（Ⅰ）∵，

∴，

∴，∴.

考查方向

本题主要考查了三角恒等变换，正余弦定理，以及三角形面积。

解题思路

1）第一问中用两角和差公式和三角恒等变换化简得到，再由正弦定理可得；

2）第二问中用倍余弦定理得到一个角，在用三角形面积公式求得面积。

易错点

1）第一问中想不到将角拆成；

2）第二问中用余弦定理求角时容易将特殊角记错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）.

解析

（Ⅱ）∵，，∴，

∴，∴.

∴，

即的面积的.

考查方向

本题主要考查了三角恒等变换，正余弦定理，以及三角形面积。

解题思路

1）第一问中用两角和差公式和三角恒等变换化简得到，再由正弦定理可得；

2）第二问中用倍余弦定理得到一个角，在用三角形面积公式求得面积。

易错点

1）第一问中想不到将角拆成；

2）第二问中用余弦定理求角时容易将特殊角记错。

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为．

18.求的值；

19.将函数的图象向左平移个单位，再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）．

解析

（Ⅰ）原函数可化为

．

∵函数的相邻两条对称轴之间的距离为，

∴的最小正周期为．

∴，∴．

∴的值为．

考查方向

本题主要考查三角恒等变换、三角函数图象变换、限定区间值域等知识，意在考查考生的运算求解能力和转化与化归的能力．

解题思路

.先根据三角恒等变换将函数化简为后利用周期求出；

易错点

化简函数出错；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）．

解析

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，再将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象．…………9分

∴．

∵，∴．

∵函数在区间上存在零点，∴．

∴实数的取值范围为．

考查方向

本题主要考查三角恒等变换、三角函数图象变换、限定区间值域等知识，意在考查考生的运算求解能力和转化与化归的能力．

解题思路

根据图像变换求出函数，后转化为两个函数图像的交点即可得到k的取值范围。

易错点

化简函数出错；

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8. 若函数的图形向左平移个单位后关于轴对称，则的最小值为（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

f(x)=cos2x-cos(2x+)=cos2x-(cos2xscos- sin2xsin)=,向左平移个单位后，得到的函数为f(x)==sin(2x+2),因为图象关于y轴对称，所以f(x+)=cos2x,所以最小值为，所以答案选A.

考查方向

三角函数的综合性质，具体考查三角函数的和角公式，三角函数的平移，三角函数的奇偶性。

解题思路

先将原函数进行化简整理，f(x)= , 平移后图象关于x轴对称，所以f(x+)=cos2x,所以最小值为

易错点

本小题易在平移过程中出错，忽略x系数2.

知识点

三角函数中的恒等变换应用函数y＝Asin(ωx＋φ)的应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8. 若函数的图形向左平移个单位后关于轴对称，则的最小值为（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

f(x)=cos2x-cos(2x+)=cos2x-(cos2xscos- sin2xsin)=,向左平移个单位后，得到的函数为f(x)==sin(2x+2),因为图象关于y轴对称，所以f(x+)=cos2x,所以最小值为，所以答案选A.

考查方向

三角函数的综合性质，具体考查三角函数的和角公式，三角函数的平移，三角函数的奇偶性。

解题思路

先将原函数进行化简整理，f(x)= , 平移后图象关于x轴对称，所以f(x+)=cos2x,所以最小值为

易错点

本小题易在平移过程中出错，忽略x系数2.

知识点

余弦函数的图象三角函数中的恒等变换应用

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