三角恒等变换
共635题

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题型：简答题

简答题 · 13 分

已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.

（1）求f(x)的最小正周期及最大值；

（2）若α∈，且f(α)＝，求α的值。

正确答案

（1）f(x)的最小正周期为，最大值为.

（2）

解析

（1）因为f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x

＝cos 2xsin 2x＋cos 4x

＝(sin 4x＋cos 4x)

＝，

所以f(x)的最小正周期为，最大值为.

（2）因为f(α)＝，所以.

因为α∈，所以4α＋∈.

所以.故.

知识点

三角函数的周期性及其求法三角函数中的恒等变换应用三角函数的最值

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知函数，若，则_____________。

正确答案

解析

对数函数题，要求学生会利用对数的运算公式进行化简，同时也要求学生对于基础的对数运算敏感；

知识点

三角函数中的恒等变换应用

题型：简答题

简答题 · 15 分

设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.

(1)求a1的值；

(2)求数列{an}的通项公式。

正确答案

(1)1； (2) an＝3·2n－1－2

解析

(1)由题意有

S1＝T1＝2S1－1。

故a1＝2a1－1。

于是a1＝1。

(2)由Tn＝2Sn－n2得

Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2，n≥2。

从而Sn＝Tn－Tn－1＝2an－(2n－1)，n≥2。

由于a1＝S1＝1，故对一切正整数n都有Sn＝2an－(2n－1)，①

因此Sn－1＝2an－1－(2n－3)，n≥2。②

①－②得an＝2(an－an－1)－2，n≥2。

于是an＝2an－1＋2，

故an＋2＝2(an－1＋2)，n≥2。

∵a1＋2＝3，

∴{an＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列。

∴an＝3·2n－1－2

知识点

三角函数中的恒等变换应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知向量, 设函数.

（1）求f (x)的最小正周期.

（2）求f (x) 在上的最大值和最小值.

正确答案

见解析

解析

（1） =。

最小正周期。

所以最小正周期为。

（2）.

所以，f (x) 在上的最大值和最小值分别为.

知识点

三角函数的周期性及其求法三角函数中的恒等变换应用三角函数的最值平面向量数量积的运算

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数（）的最小正周期为，

（1）求的值；

（2）将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到

函数的图像，求函数在区间上的最小值。

正确答案

见解析。

解析

因此 1g（x），故 g（x）在此区间内的最小值为1.

知识点

函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换三角函数中的恒等变换应用三角函数的最值

题型：简答题

简答题 · 12 分

设函数f(x)＝sin2ωx＋sinωx·cosωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(，1)。

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若y＝f(x)的图象经过点(，0)，求函数f(x)的值域。

正确答案

(1) ;(2)

解析

(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋sin2ωx＋λ＝2sin(2ωx－)＋λ，

由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－)＝±1.

所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即(k∈Z)。

又ω∈(，1)，k∈Z，所以.

所以f(x)的最小正周期是.

(2)由y＝f(x)的图象过点(，0)，得f()＝0，

即，即.

故，函数f(x)的值域为

知识点

正弦函数的定义域和值域由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式三角函数中的恒等变换应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

函数f(x)＝sin xcos x＋cos 2x的最小正周期和振幅分别是(　　)。

Aπ，1

Bπ，2

C2π，1

D2π，2

正确答案

解析

由y＝sin xcos x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝，因为ω＝2，所以T＝＝π，又观察f(x)可知振幅为1，故选A

知识点

y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义三角函数中的恒等变换应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

若直线与圆有公共点，则实数取值范围是

A[-3 ，-1 ]

B[ -1 ， 3 ]

C[ -3 ，1 ]

D（- ，-3 ] U [ ，+ ）

正确答案

解析

圆的圆心到直线的距离为

则

知识点

三角函数中的恒等变换应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

函数的定义域是

正确答案

解析

由题意知，解得且，所以定义域为；

知识点

三角函数中的恒等变换应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

为了得到函数的图象，可以将函数的图像（）

A向右平移个单位

B向右平移个单位

C向左平移个单位

D向左平移个单位

正确答案

解析

因为，所以将函数的图象向左平移个单位长得函数，即得函数的图象，选C. 点评：本题考查三角函数的图象的平移变换，公式的运用，容易题

知识点

函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换三角函数中的恒等变换应用

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