- 随机事件的概率
- 共3327题
若任意x∈A，则
正确答案
根据题意，M中共8个元素，则M的非空子集有28-1=255个，
进而可得：“和谐”集合中的元素两两成对，互为倒数，观察集合M，互为倒数的数有两对，即2与
由于包括四个元素的集合的非空子集是24-1=15，则M的子集中，“和谐”集合的个数为15；
故“和谐”集合的概率是
故答案为
我们用符号“||”定义过一些数字概念，如实数绝对值的概念：对于a∈R，|a|=
（1）再写出两个这类数学概念的定义及其成立的不等式；
（2）对于集合A，定义“|A|”为集合A中元素的个数，对任意的集合A、B有类似的不等式成立吗？如果有，写出一个，并指出等号成立的条件（不必说明理由）；如果没有，请说明理由；
（3）设有集合A、B，若|A|=15，|B|≥15，若从A中任取两上元素，恰好都是B中元素的概率p≥
正确答案
（1）①设复数z=a+bi（a，b∈R），定义复数z的模为：
|z|=
对任意复数z1，z2，不等式|z1|-|z2|≤|z1-z2|≤|z1|+|z2|成立
（也可以是||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|等）
②平面向量之间具有这种关系，设平面向量
对于任意向量|
（2）有，对任意集合A，B，不等式|A|-|B|≤A∪B≤|A|+|B|成立（2分）
左边等号成立的条件是：B=φ，右边等号成立的条件是：A∩B=φ；（4分）
（或者：不等式||A|-|B||≤A∪B≤|A|+|B|成立（2分）
左边等号成立的条件是：B=φ 或A=φ，右边等号成立的条件是：A∩B=φ；（4分））
（3）易知：|A∩B|≤15，设|A∩B|=n，（1分）
依题意：p=
即n（n-1）≥42，∴n≥7或n≤-6 （4分）
注意到n≤15，n∈N，所以7≤n≤15，且n∈N
即满足题意的|A∩B|的取值范围是{n|7≤n≤15，且n∈N }（6分）
定义集合A与B的差集A-B={x|x∈A且x∉B}，记“从集合A中任取一个元素x，x∈A-B”为事件E，“从集合A中任取一个元素x，x∈A∩B”为事件F；P（E）为事件E发生的概率，P（F）为事件F发生的概率，当a、b∈Z，且a＜-1，b≥1时，设集合A={x∈Z|a＜x＜0}，集合B={x∈Z|-b＜x＜b}．给出以下判断：
①当a=-4，b=2时P（E）=
③若P（E）=1，则a=-2，b=1； ④P（F）不可能等于1．
其中所有正确判断的序号为______．
正确答案
根据题意，依次分析4个命题：
对于①，当a=-4，b=2时，集合A={x∈Z|-4＜x＜0}={-3，-2，-1}，集合B={x∈Z|-2＜x＜2}={-1，0，1}，可得A-B={-3，-2}，A∩B={-1}；则P（E）=
对于②，根据题意，E与F为对立事件，则总有P（E）+P（F）=1成立，②正确；
对于③，若P（E）=1，由②的结论可得，P（F）=∅，即集合A与B无交集，而根据题意，而当a=-2，b=1时，A={-1，0}，B={-1，0，1}，此时A∩B≠∅，故③错误；
对于④，分析易得，当-b＜a时，有A⊆B，即A∩B=A，此时从集合A中任取一个元素x，x∈A∩B为必然事件，即P（F）=1，故④错误；
故答案为①②．
在集合{x|x=
正确答案
∵集合{x|x=
而当n=2和n=10时，cosx=
故满足条件cosx=
故所取元素恰好满足方程cosx=
故答案为：
从集合{-1，-2，-3，-4，0，1，2，3，4，5}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中的任何两个数之和不等于1，则取出这样的子集的概率为______．
正确答案
从集合{-1，-2，-3，-4，0，1，2，3，4，5}中，随机选出5个数组成子集，共有C105种取法，即可组成C105个子集，
记“这5个数中的任何两个数之和不等于1”为事件A，
而两数之和为1的数组分别为（-1，2），（-2，3），（-3，4）（-4，5），（0，1），
②有两组数之和为1，有C52•C61=60种，
则A包含的结果共有220种，
由古典概率的计算公式可得P（A）=1-P（ 
故答案为：
若x∈M，且
正确答案
集合A中有8个元素，则A的非空子集共有28-1=255个；
集合A中互为倒数的元素有1，2与
则A的子集中的“兄弟集合”为{1}、{2，
则在A的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“兄弟集合”的概率为
故答案为
已知函数f(x)=
（Ⅰ）已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求事件A：“f（1）≥0”发生的概率；
（Ⅱ）若f（x）是R上的奇函数，g（a）是f（x）在区间[-1，1]上的最小值，求当|a|≥1时g（a）的解析式；
（Ⅲ）记y=f（x）的导函数为f′（x），则当a=1时，对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2]使得f（x1）=f′（x2），求实数b的取值范围．
正确答案
（Ⅰ）由已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，可知：共有3×3=9个函数，即基本事件的总数为9个．
若f（1）≥0，得到
故满足：“f（1）≥0”的事件A包括6个基本事件，故P（A）=
（II）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0=b，
∴f(x)=
①当a≤-1时，f′（x）≥0，∴函数f（x）在区间[-1，1]上单调递增，∴g（a）=f（-1）=-
②当a≥1时，∵x∈[-1，1]，∴f′（x）=x2-a≤0，
∴函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减，∴g（a）=f（1）=
（Ⅲ）当a=1时，f(x)=
∴f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，2）上单调递增，即f(x)min=f(1)=-
又∵f（0）=b，f(2)=
而f′（x）=x2-1在[0，2]上单调递增，f'（x）∈[-1，3]，
且 对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2]使得f（x1）=f'（x2），
∴f（x）的值域⊆f′（x）的值域，即[-
∴-
用符号（x]表示小于x的最大整数，如（π]=3，（-1.2]=-2．有下列命题：
①若函数f（x）=（x]-x，x∈R，则f（x）的值域为[-1，0）；
②若x∈（1，4），则方程x-(x]=
③若数列{an}是等差数列，则数列{（an]}也是等差数列；
④若x，y∈{
其中，所有正确命题的序号是 ______．
正确答案
∵用符号（x]表示小于x的最大整数，
①若函数f（x）=（x]-x，x∈R，可以得到f（x）的值域为[-1，0），故①正确；
②若x∈（1，4），方程x-(x]=
③若数列{an}是等差数列，比如数列1.1，1.2，1.3，1.4…则数列{（an]}不是等差数列，故③不正确；
④若x，y∈{
满足乘积是2的只有2种，故概率为P=
综上可知①②④正确，
故答案为：①②④
已知关x的一元二次函数f（x）=ax2-bx+1，设集合P={1，2，3}Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对（a，b）．
（1）列举出所有的数对（a，b）并求函数y=f（x）有零点的概率；
（2）求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
正确答案
（1）（a，b）共有（1，-1），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，-1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3-1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），15种情况
函数y=f（x）有零点，△=b2-4a≥0，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况满足条件
所以函数y=f（x）有零点的概率为
（2）函数y=f（x）的对称轴为x=
所以函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率为
设a，b∈（0，1），则关于x的方程x2+2ax+b=0在（-∞，∞）上有两个不同的零点的概率为______．
正确答案
方程x2+2ax+b=0在（-∞，+∞）上有两个零点
即△=4a2-4b＞0，即b＜a2，
合乎条件的区域面积S=
而a，b∈（0，1）对应的区域面积为1，
∴P=
故答案为：
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