- 随机事件的概率
- 共3327题
有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：
（Ⅰ） 为了调查评委对7位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．
（Ⅱ） 在（Ⅰ）中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
正确答案
（Ⅰ）按相同的比例从不同的组中抽取人数．
从B组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从150人中抽取6人，填表如下：
（Ⅱ）A组抽取的3人中有2人支持1好歌手，则从3人中任选1人，支持1号歌手的概率为
B组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，支持1号歌手的概率为
现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，则2人都支持1号歌手的概率p=
在一个口袋中装有10个球，其中有3个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同，游戏者一次从中摸出3个球.摸到2个或2个以上红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是_________ ．(用数字作答)
正确答案
获得一等奖有2红1白和3红两种情况：
所以获得一等奖的概率为
某学校为高二年级开展第二外语选修课，要求每位同学最多可以选报两门课程．已知有75%的同学选报法语课，有60%的同学选报日语课．假设每个人对课程的选报是相互独立的，且各人的选报相互之间没有影响．
（1）任选1名同学，求其选报过第二外语的概率；
（2）理科：任选3名同学，记ξ为3人中选报过第二外语的人数，求ξ的分布列、期望和方差．
文科：任选3名同学，求3人中恰有1人选报过第二外语的概率．
正确答案
设事件A：选报法语课；事件B：选报日语课．
由题设知，事件A与B相互独立，且P（A）=0.75．P（B）=0.6
（1）解法一：任选1名同学，
该人一门课程均没选报的概率是P1=P(
所以该人选报过第二外语的概率是P2=1-P1=1-0.1=0.9．…（6分）
解法二：任选1名同学，该人只选报一门课程的概率是P3=P(A•
该人选报两门课程的概率是P4=P（A•B）=0.75×0.6=0.45．
所以该人选报过第二外语的
概率是P5=P3+P4=0.45+0.45=0.9…（6分）
（2）【理科】因为每个人的选报是相互独立的，
所以3人中选报过第二外语的人数ξ服从二项分布B（3，0.9），
P（ξ=k）=C3k×0.9k×0.13-k，k=0，1，2，3，
即ξ的分布列是
…（9分）ξ的期望是Eξ=1×0.027+2×0.243+3×0.729=2.7
（或ξ的期望是Eξ=3×0.9=2.7）…（11分）
ξ的方差是Dξ=3×0.98×（1-0.98）=0.0588…（12分）
【文科】3人中有1人选报过第二外语的概率为C31×0.91×0.12=0.027------（12分）
学校高三文科班、理科班各选出3名学生组成代表队进行乒乓球对抗赛，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”的顺序进行比赛；②代表队中每名队员至少报名参加一盘比赛，至多参加两盘比赛，但不得参加两盘单打比赛；③先胜两盘的队获胜，比赛结束．若已知每盘比赛双方胜的概率均为
问：（1）文科班有多少种不同的排阵方式？
（2）文科班连胜两盘的概率是多少？
（3）文科班恰好胜一盘的概率是多少？
正确答案
（1）由题意知每名队员至少报名参加一盘比赛，
至多参加两盘比赛，但不得参加两盘单打比赛，
文科班有6种不同的排阵方式．
（2）高三文科班连胜两盘包括①第一、二盘胜；②第一盘负，二、三盘胜，
这两种结果是互斥的，
根据互斥事件的概率和相互独立事件同时发生的概率得到
其概率为P(A)=
（3）高三文科班恰好胜一盘包括胜第一盘，负二、三盘和胜第二盘，负一、三盘两种情形，
这两种情况是互斥的
∴概率为P(B)=
甲盒中有黑、白两种颜色的球各2个；乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各1个．
（1）从两个盒子中各取1个球，求取出的两个球是不同颜色的概率；
（2）若把两盒中的球混到一起，从中不放回的先后取两球，求取出的两个球是不同颜色的概率．
正确答案
（1）取出的两球是不同颜色的对立事件是取出的两球是相同颜色，
取出的两球是相同颜色包含取出的两球都是白色，都是黑色，这两种情况是互斥的，
当两个盒子都取出的是黑色的概率是
当两个盒子取出的球都是白色的概率是
∴取出的球颜色相同的概率是
∴取出的球颜色不同的概率是1-
（2）取出的两球是不同颜色的对立事件是取出的两球是相同颜色，
取出的两球是相同颜色包含取出的两球都是白色，都是黑色，这两种情况是互斥的，
两次都取得颜色相同的球的概率是
∴取出的两个球是不同颜色的概率是1-
即取出的两个球颜色不同的概率是
某同学进行一项闯关游戏，规则如下：游戏共三道关，闯每一道关通过，方可去闯下一道关，否则停止；同时规定第i（i=1，2，3）次闯关通过得i分，否则记0分．已知该同学每道关通过的概率都为0.8，且不受其它因素影响．
（1）求该同学恰好得3分的概率；
（2）设该同学停止闯关时所得总分为X，求随机变量X的分布列及数学期望．
正确答案
（1）记Ai为事件“该同学闯第i关并通过”（i=1，2，3），则P（Ai）=0.8，P（
由题意，Ai（i=1，2，3）相互独立
该同学恰好得3分，说明该同学恰好通过第二道关，闯第三道关失败
∴所求的概率为P(A1A2
（2）根据题意，X的所有可能取值为0，1，3，6
P（X=0）=0.2，P（X=1）=0.8×0.2=0.16，P（X=3）=0.8×0.8×0.2=0.128，P（X=6）=0.83=0.512
∴X的分布列为
∴E（X）=0×0.2+1×0.16+3×0.128+6×0.512=3.616．
某单位一辆交通车载有8个职工从单位出发送他们下班回家，途中共有甲、乙、丙3个停车点，如果某停车点无人下车，那么该车在这个点就不停车．假设每个职工在每个停车点下车的可能性都是相等的，求下列事件的概率：
（1）该车在某停车点停车；
（2）停车的次数不少于2次；
（3）恰好停车2次．
正确答案
将8个职工每一种下车的情况作为1个基本事件，
那么共有38=6561（个）基本事件．
（1）记“该车在某停车点停车”为事件A，
事件A发生说明在这个停车点有人下车，即至少有一人下车，
这个事件包含的基本事件较复杂，于是我们考虑它的对立事件
即“8个人都不在这个停车点下车，而在另外2个点中的任一个下车”．
∵P（
∴P（A）=1-P（
（2）记“停车的次数不少于2次”为事件B，
则“停车次数恰好1次”为事件
则P（B）=1-P（
（3）记“恰好停车2次”为事件C，
事件C发生就是8名职工在其中2个停车点下车，
每个停车点至少有1人下车，
所以该事件包含的基本事件数为C32（C81+C82+C83++C87）=3×（28-2）=3×254，
于是P（C）=
（6分）2005年某市的空气质量状况分布如下表:
污染指数X
30
60
100
110
130
140
P
其中X
正确答案
解：（1）
本试题主要是考查了分布列的性质和分布列求解数学期望值的运用。
（1）中利用已知条件可知X
（2）中由于空气质量达到优或良的概率即为
如下图，用A、B、C三类不同的元件连接两个系统N1，N2，当元件A、B、C都正常工作时系统N1正常工作，当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时系统N2正常工作，已知元件A、B、C正常工作的概率分别为0.80，0.90，0.90，分别求系统N1，N2正常工作的概率p1，p2.
正确答案
（1）P1=" 0.648." （2）P2=" 0.792."
试题分析：分别记元件A，B，C正常工作的时间为事件A，B，C，由已知条件P(A)=0.8，P(B)=0.9，P(C)=0.9，
（1）因为事件A，B，C是相互独立的，所以P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.648,
系统N1正常工作的概率是0.648. 6分
（2）P2=
系统N2正常工作的概率是0.792. 12分
点评：注意体会解决概率应用题的思考方法，正向思考时要善于将较复杂的问题进行分解，解决有些问题时还要学会运用逆向思考的方法
有5张大小相同的卡片分别写着数字1、2、3、4、5，甲，乙二人依次从中各抽取一张卡片（不放回），试求：
（1）甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率；
（2）甲、乙二人至少抽到一张偶数数字卡片的概率。
正确答案
（1）甲抽到奇数，乙抽到偶数的抽法共有6种，所求概率为
（2）甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的概率
本题主要考查了互斥事件的概率加法公式，以及古典概型的概率问题，解题的关键是弄清基本事件，属于中档题
（I）先求出甲、乙二人依次从九张卡片各抽取一张的结果种数，然后求出甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的结果种数，最近根据古典概型的公式求两者的比值即可；
（II）根据甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的事件包含下面三个事件，甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片；甲抽到写有偶数数字卡片，且乙抽到写有奇数数字卡片；甲、乙二人均抽到写有奇数数字卡片；最后根据互斥事件的概率加法公式求出所求
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