随机事件的概率_章节学习

1

题型：简答题

|

简答题

同时掷两颗质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），两颗骰子向上的点数之和记为ξ．

（Ⅰ）求ξ=5的概率P（ξ=5）；

（Ⅱ）求ξ＜5的概率P（ξ＜5）．

正确答案

（Ⅰ）掷两颗质地均匀的骰子，两颗骰子向上的点数之和的所有结果如下表所示：

显然，ξ的取值有11种可能，它们是2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12；

点数和为5出现4次，

则P(ξ=5)==．

故ξ=5的概率是．

（Ⅱ）由（Ⅰ）的表格可得，点数和为2出现1次，点数和为3出现2次，点数和为4出现3次，

则P（ξ＜5）=P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=++=．

故ξ＜5的概率是．

1

题型：简答题

|

简答题

乒乓球比赛规则规定：一局比赛，对方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球两次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．

（1）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1：2的概率；

（2）求开始第5次发球时，甲领先得分的概率．

正确答案

（Ⅰ）记Ai表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2，

Bi表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2，

A表示事件：第3次发球，甲得1分，

B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2，

C表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先．

∴B=A0•A+A1•，

P（A）=0.4，P（A0）=0.42=0.16，

P（A1）=2×0.6×0.4=0.48，

P（B）=P(A0•A+A1•)

=P（A0•A）+P（A1•）

=P(A0)P(A)+P(A1)P()

=0.16×0.4+0.48×（1-0.4）

=0.352．

答：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1：2的概率是0.352．

（Ⅱ）P(B0)=0.62=0.36，

P（B1）=2×0.4×0.6=0.48，

P(B2)=0.42=0.16，

P(A2)=0.62=0.36，

∵C=A1•B2+A2•B1+A2•B2，

∴P（C）=P（A1•B2+A2B1+A2•B2）

=P（A1•B2）+P（A2•B1）+P（A2•B2）

=P（A1）P（B）+P（A2）P（B1）+P（A2）P（B2）

=0.48×0.16+0.36×0.48+0.36×0.16

=0.3072．

答：开始第5次发球时，甲领先得分的概率是0.3072．

1

题型：简答题

|

简答题

研究室有甲、乙两个课题小组，根据以往资料统计，甲、乙两小组完成课题研究各项任务的概率依次分别为P1=，P2，现假设每个课题研究都有两项工作要完成，并且每项工作的完成互不影响，若在一次课题研究中，两小组完成任务项数相等且都不少于一项，则称该研究为“先进和谐室”．

（Ⅰ）若P2=，求该研究室在完成一次课题任务中荣获“先进和谐室”的概率；

（Ⅱ）设在完成6次课题任务中该室获得“先进和谐室”的次数为ξ，求Eξ≥2.5时，P2的取值范围．

正确答案

（本小题满分13分）

（Ⅰ）P=(••)(••)+(•)(•)=

（Ⅱ）研究室在一次任务中荣获“先进和谐室”的概率P=(••)[•P2•(1-P 2)]+(•)=P2-

而ξ～B（6，P），所以Eξ=6P，由Eξ≧2.5知(P2-)×6≥2.5

解得≤p2≤，而p2≤1，所以≤p2≤1

1

题型：简答题

|

简答题

在甲、乙两个批次的某产品中，分别抽出3件进行质量检验．已知甲、乙批次每件产品检验不合格的概率分别为、，假设每件产品检验是否合格相互之间没有影响．

（Ⅰ）求至少有2件甲批次产品检验不合格的概率；

（Ⅱ）求甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多2件的概率．

正确答案

（Ⅰ）记“至少有2件甲批次产品检验不合格”为事件A．

由题意，事件A包括以下两个互斥事件：

①事件B：有2件甲批次产品检验不合格．

由n次独立重复试验中某事件发生k次的概率

公式，得P(B)=•()2•(1-)1=；

②事件C：3件甲批次产品检验都不合格．

由相互独立事件概率乘法公式，得P(C)=()3=；

所以，“至少有2件甲批次产品检验不合格”的概率为P(A)=P(B)+P(C)=．

（Ⅱ）记“甲批次产品检验不合格件数比乙批次产品检验不合格件数多2件”为事件D．

由题意，事件D包括以下两个互斥事件：

①事件E：3件甲批次产品检验都不合格，且有1件乙批次产品检验不合格．

其概率P(E)=()3•()1(1-)2=；

②事件F：有2件甲批次产品检验不合格，且有0件乙批次产品检验不合格．

其概率P(F)=()2(1-)•(1-)3=；

所以，事件D的概率为P(D)=P(E)+P(F)=．

1

题型：简答题

|

简答题

甲乙两人参加某电台举办的有奖知识问答．约定甲，乙两人分别回答4个问题，答对一题得一分，答错不得分，4个问题结束后以总分决定胜负．甲，乙回答正确的概率分别是和，且不相互影响．

（1）甲回答4次，至少一次回答错误的概率；

（2）求甲恰好以3分的优势取胜的概率．

正确答案

（1）∵“甲回答4次，至少一次回答错误”的对立事件是“甲回答4次，4次全对”，

∴甲回答4次，至少一次回答错误的概率=1-()4=．

（2）记Ai为甲回答正确i个题目，记Bi为甲回答正确j个题目，C为甲以3分优势取胜，

1

题型：简答题

|

简答题

2010年世博会于5月1日在中国上海隆重开幕，甲、乙、丙三人打算利用周六去游览，由于时间有限，三人商定在已圈定的10个国家馆中各自随机选择一个国家馆游览（选择每个国家馆的可能性相同）．

（Ⅰ）求甲、乙、丙三人同时游览同一个国家馆的概率；

（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中至少有两人同时游览同一个国家馆的概率．

正确答案

（Ⅰ）三人同时游览同一个国家馆的概率为：

p1=×××=．

（Ⅱ）三人中恰好有两人游览同一个国家馆的概率为：

p2=(

1

10

)2××=．

三人游览同一个国家馆的概率为：p3=(

1

10

)3×=．

所以甲、乙、丙三人中至少有两人游览同一个国家馆的概率为：

p=p1+p2=．

1

题型：简答题

|

简答题

乒乓球比赛规则规定：一局比赛，对方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球两次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．

（1）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1：2的概率；

（2）求开始第5次发球时，甲领先得分的概率．

正确答案

（Ⅰ）记Ai表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2，

Bi表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2，

A表示事件：第3次发球，甲得1分，

B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2，

C表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先．

∴B=A0•A+A1•，

P（A）=0.4，P（A0）=0.42=0.16，

P（A1）=2×0.6×0.4=0.48，

P（B）=P(A0•A+A1•)

=P（A0•A）+P（A1•）

=P(A0)P(A)+P(A1)P()

=0.16×0.4+0.48×（1-0.4）

=0.352．

答：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1：2的概率是0.352．

（Ⅱ）P(B0)=0.62=0.36，

P（B1）=2×0.4×0.6=0.48，

P(B2)=0.42=0.16，

P(A2)=0.62=0.36，

∵C=A1•B2+A2•B1+A2•B2，

∴P（C）=P（A1•B2+A2B1+A2•B2）

=P（A1•B2）+P（A2•B1）+P（A2•B2）

=P（A1）P（B）+P（A2）P（B1）+P（A2）P（B2）

=0.48×0.16+0.36×0.48+0.36×0.16

=0.3072．

答：开始第5次发球时，甲领先得分的概率是0.3072．

1

题型：简答题

|

简答题

设有3个投球手，其中一人命中率为q，剩下的两人水平相当且命中率均为p（p，q∈（0，1）），每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为ξ．

（1）当p=q=时，求数学期望E（ξ）及方差V（ξ）；

（2）当p+q=1时，将ξ的数学期望E（ξ）用p表示．

正确答案

（1）∵每位投球手均独立投球一次，

当p=q=时，每次试验事件发生的概率相等，

∴ξ～B（3，），由二项分布的期望和方差公式得到结果

∴Eξ=np=3×=，Dξ=np（1-p）=3××(1-)=

（2）ξ的可取值为0，1，2，3．

P（ξ=0）=（1-q）（1-p）2=pq2；

P（ξ=1）=q（1-p）2+（1-q）C21p（1-p）=q3+2p2q；

P（ξ=2）=qC21p（1-p）+（1-q）p2=2pq2+p3；

P（ξ=3）=qp2．

ξ的分布列为

Eξ=0×pq2+1×（q3+2p2q）+2×（2pq2+p3）+3×qp2=1+p．

1

题型：简答题

|

简答题

在甲、乙两个批次的某产品中，分别抽出3件进行质量检验．已知甲、乙批次每件产品检验不合格的概率分别为、，假设每件产品检验是否合格相互之间没有影响．

（Ⅰ）求至少有2件甲批次产品检验不合格的概率；

（Ⅱ）求甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多2件的概率．

正确答案

（Ⅰ）记“至少有2件甲批次产品检验不合格”为事件A．

由题意，事件A包括以下两个互斥事件：

①事件B：有2件甲批次产品检验不合格．

由n次独立重复试验中某事件发生k次的概率

公式，得P(B)=•()2•(1-)1=；

②事件C：3件甲批次产品检验都不合格．

由相互独立事件概率乘法公式，得P(C)=()3=；

所以，“至少有2件甲批次产品检验不合格”的概率为P(A)=P(B)+P(C)=．

（Ⅱ）记“甲批次产品检验不合格件数比乙批次产品检验不合格件数多2件”为事件D．

由题意，事件D包括以下两个互斥事件：

①事件E：3件甲批次产品检验都不合格，且有1件乙批次产品检验不合格．

其概率P(E)=()3•()1(1-)2=；

②事件F：有2件甲批次产品检验不合格，且有0件乙批次产品检验不合格．

其概率P(F)=()2(1-)•(1-)3=；

所以，事件D的概率为P(D)=P(E)+P(F)=．

1

题型：简答题

|

简答题

在甲、乙两个批次的某产品中，分别抽出3件进行质量检验．已知甲、乙批次每件产品检验不合格的概率分别为、，假设每件产品检验是否合格相互之间没有影响．

（Ⅰ）求至少有2件甲批次产品检验不合格的概率；

（Ⅱ）求甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多2件的概率．

正确答案

（Ⅰ）记“至少有2件甲批次产品检验不合格”为事件A．

由题意，事件A包括以下两个互斥事件：

①事件B：有2件甲批次产品检验不合格．

由n次独立重复试验中某事件发生k次的概率

公式，得P(B)=•()2•(1-)1=；

②事件C：3件甲批次产品检验都不合格．

由相互独立事件概率乘法公式，得P(C)=()3=；

所以，“至少有2件甲批次产品检验不合格”的概率为P(A)=P(B)+P(C)=．

（Ⅱ）记“甲批次产品检验不合格件数比乙批次产品检验不合格件数多2件”为事件D．

由题意，事件D包括以下两个互斥事件：

①事件E：3件甲批次产品检验都不合格，且有1件乙批次产品检验不合格．

其概率P(E)=()3•()1(1-)2=；

②事件F：有2件甲批次产品检验不合格，且有0件乙批次产品检验不合格．

其概率P(F)=()2(1-)•(1-)3=；

所以，事件D的概率为P(D)=P(E)+P(F)=．

热门试卷

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案