- 随机事件的概率
- 共3327题
甲、乙两名蓝球运动员分别进行一次投蓝，如果两人投进的概率分别是
（1）求两人都投进的概率；
（2）求其中恰有一人投进的概率．
正确答案
（1）设A表示“投蓝一次投进”，B表示“投蓝一次投进”，…（1分）
则“两人都投进”为A∩B，由题意可得A、B互相独立，…（4分）
∴P（A∩B）=P（A）P（B）=
（2）“其中恰有一人投进”表示为：（A∩
P（ （A∩
答：两人都投进的概率为
甲乙两人射击气球的命中率分别为0.7与0.4，如果每人射击2次．
（Ⅰ）求甲击中1个气球且乙击中两个气球的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人击中气球个数相等的概率．
正确答案
（I）由题意知本题是一个独立重复试验，
设甲击1个气球且乙击中2个气球为事件A，
事件A1为甲在2次射击中恰好击中1个气球，
事件A2为乙在2次射击中恰好击中2个气球．
则P（A）=P（A1•A2）=P（A1）•P（A2）=（C11•0.31×0.71）•C22•0.42）=0.0672．
（II）甲、乙两人击中气球个数相等为相件B，
事件B1为甲、乙两个都击中2个气球，
事件B2为甲、乙两人恰好都击中1个气球，
事件B3为甲、乙两人都末击中气球．则P（B）=P（B1+B2+B3）=P（B1）+P（B2）+P（B3）
=（C22•0.72•C22•0.42）+（C21•0.72×0.3）（C21•0.4×0.6）+（C22•0.32•C20•0.62）
=0.3124．
甲乙两人射击气球的命中率分别为0.7与0.4，如果每人射击2次．
（Ⅰ）求甲击中1个气球且乙击中两个气球的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人击中气球个数相等的概率．
正确答案
（I）由题意知本题是一个独立重复试验，
设甲击1个气球且乙击中2个气球为事件A，
事件A1为甲在2次射击中恰好击中1个气球，
事件A2为乙在2次射击中恰好击中2个气球．
则P（A）=P（A1•A2）=P（A1）•P（A2）=（C11•0.31×0.71）•C22•0.42）=0.0672．
（II）甲、乙两人击中气球个数相等为相件B，
事件B1为甲、乙两个都击中2个气球，
事件B2为甲、乙两人恰好都击中1个气球，
事件B3为甲、乙两人都末击中气球．则P（B）=P（B1+B2+B3）=P（B1）+P（B2）+P（B3）
=（C22•0.72•C22•0.42）+（C21•0.72×0.3）（C21•0.4×0.6）+（C22•0.32•C20•0.62）
=0.3124．
甲，乙，丙三名射击运动员进行设计比赛，已知他们击中目标的概率分别为0.7，0.8，0.5，现他们三人分别向目标个射击依次，记目标被击中的次数为X．
（1）求随机变量X的概率分布；
（2）求随机变量X的数学期望．
正确答案
（1）X的可能取值为0，1，2，3．
P（X=0）=（1-0.7）×（1-0.8）×（1-0.5）=0.03
P（X=1）=0.7×（1-0.8）×（1-0.5）+（1-0.7）×0.8×（1-0.5）+（1-0.7）×（1-0.8）×0.5=0.22
P（X=2）=（1-0.7）×0.8×0.5+0.7×（1-0.8）×0.5+0.7×0.8×（1-0.5）=0.47
P（X=3）=0.7×0.8×0.5=0.28
（2）E（X）=0×0.003+1×0.22+2×0.47+3×0.28=2
福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p，获得50元奖金的概率为2%．
（Ⅰ）假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；
（Ⅱ）为了能够筹得资金资助福利事业，求p的取值范围．
正确答案
在袋中装有6个大小相同的球，其中黑球有2个，白球有n（1≤n≤3）个，其余的球为红球．
（1）若n=1，从袋中任取1个球，取后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率；
（2）从袋中任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率为
正确答案
（1）若n=1，则红球有3个，从袋中任取1个球，每次取红球的概率为
故三次取出的球中恰有2个红球的概率 
1
2
)2•（1-
（2）由题意可得 
某种项目的射击比赛，开始时在距目标100m处射击，如果命中记6分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已经在150m处，这时命中记3分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已经在200m处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，且不再继续射击．已知射手甲在100m处击中目标的概率为
（Ⅰ）分别求这名射手在150m处、200m处的命中率；
（Ⅱ）求这名射手停止射击时已击中目标的概率．
正确答案
（1）由题意，这名选手距目标xm处的命中率Px=
故P150=
即这名射手在150m处、200m处的命中率分别为
（2）记100m，150m，200m处命中目标分别为事件A，B，C，
由（1）知P=P（A+
甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹．根据以往资料知，甲击中8环，9环，10环的概率分别为0.6，0.3，0.1，乙击中8环，9环，10环的概率分别为0.4，0.4，0.2．
设甲、乙的射击相互独立．
（Ⅰ）求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；
（Ⅱ）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率．
正确答案
记A1，A2分别表示甲击中9环，10环，B1，B2分别表示乙击中8环，9环，
A表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，
B表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数，
C1，C2分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲击中环数多于乙击中的环数．
（Ⅰ）甲、乙的射击相互独立
在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数包括三种情况，
用事件分别表示为A=A1•B1+A2•B1+A2•B2，且这三种情况是互斥的，
根据互斥事件和相互独立事件的概率公式得到
∴P（A）=P（A1•B1+A2•B1+A2•B2）=P（A1•B1）+P（A2•B1）+P（A2•B2）
=P（A1）•P（B1）+P（A2）•P（B1）+P（A2）•P（B2）
=0.3×0.4+0.1×0.4+0.1×0.4=0.2．
（Ⅱ）由题意知在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数表示三轮中恰有两轮或三轮甲击中环数多于乙击中的环数，这两种情况是互斥的，即B=C1+C2，
∵P（C1）=C32[P（A）]2[1-P（A）]=3×0.22×（1-0.2）=0.096，
P（C2）=[P（A）]3=0.23=0.008，
∴P（B）=P（C1+C2）=P（C1）+P（C2）=0.096+0.008=0.104．
甲，乙，丙三名射击运动员进行设计比赛，已知他们击中目标的概率分别为0.7，0.8，0.5，现他们三人分别向目标个射击依次，记目标被击中的次数为X．
（1）求随机变量X的概率分布；
（2）求随机变量X的数学期望．
正确答案
（1）X的可能取值为0，1，2，3．
P（X=0）=（1-0.7）×（1-0.8）×（1-0.5）=0.03
P（X=1）=0.7×（1-0.8）×（1-0.5）+（1-0.7）×0.8×（1-0.5）+（1-0.7）×（1-0.8）×0.5=0.22
P（X=2）=（1-0.7）×0.8×0.5+0.7×（1-0.8）×0.5+0.7×0.8×（1-0.5）=0.47
P（X=3）=0.7×0.8×0.5=0.28
（2）E（X）=0×0.003+1×0.22+2×0.47+3×0.28=2
甲，乙，丙三名射击运动员进行设计比赛，已知他们击中目标的概率分别为0.7，0.8，0.5，现他们三人分别向目标个射击依次，记目标被击中的次数为X．
（1）求随机变量X的概率分布；
（2）求随机变量X的数学期望．
正确答案
（1）X的可能取值为0，1，2，3．
P（X=0）=（1-0.7）×（1-0.8）×（1-0.5）=0.03
P（X=1）=0.7×（1-0.8）×（1-0.5）+（1-0.7）×0.8×（1-0.5）+（1-0.7）×（1-0.8）×0.5=0.22
P（X=2）=（1-0.7）×0.8×0.5+0.7×（1-0.8）×0.5+0.7×0.8×（1-0.5）=0.47
P（X=3）=0.7×0.8×0.5=0.28
（2）E（X）=0×0.003+1×0.22+2×0.47+3×0.28=2
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