- 随机事件的概率
- 共3327题
甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．
（Ⅰ）分别求甲、乙两人考试合格的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．
正确答案
（Ⅰ）设甲乙两人考试合格分别为事件A、B，
则P（A）=
P（B）=
答：甲乙两人考试合格的概率分别为
（Ⅱ）因为事件A、B相互独立，
所以甲、乙两人考试均不合格的概率为P（
甲乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1-P（
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
在某社区举办的《2008奥运知识有奖问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲回答对这道题的概率是
（Ⅰ）求乙、丙两人各自回答对这道题的概率．
（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率．
正确答案
记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件A、B、C，
则P（A）=
∴P（B）=
（2）由（1）P（
则甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率为：P=P（A•B•
某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4，
（1）求他乘火车或乘飞机去的概率；
（2）求他不乘轮船去的概率．
正确答案
设“乘火车去开会”为事件A，“乘轮船去开会”为事件B，“乘汽车去开会”为事件C，“乘飞机去开会”为事件D，并且根据题意可得：这四个事件是互斥事件，
（1）根据概率的基本性质公式可得：P（A+D）=P（A）+P（D）=0.3+0.4=0.7．
（2）根据对立事件的概率公式可得：他不乘轮船去的概率P=1-P（B）=1-0.2=0.8．
一个口袋中装有n个红球（n≥5且n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．
（Ⅰ）试用n表示一次摸奖中奖的概率p；
（Ⅱ）若n=5，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；
（Ⅲ） 记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P．当n取多少时，P最大？
正确答案
（Ⅰ）一次摸奖从n+5个球中任选两个，有Cn+52种，它们等可能，其中两球不同色有Cn1C51种，一次摸奖中奖的概率p=
（Ⅱ）若n=5，一次摸奖中奖的概率p=
（Ⅲ）设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P=P3（1）=C31•p•（1-p）2=3p3-6p2+3p，0＜p＜1，P'=9p2-12p+3=3（p-1）（3p-1），知在(0，
答：当n=20时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大．
盒中有10只晶体管，其中2只是次品，每次随机地抽取1只，作不放回抽样，连抽两次，试分别求下列四个事件的概率：
（1）2只都是正品；
（2）2只都是次品；
（3）1只正品，1只次品；
（4）第二次取出的是次品．
正确答案
由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，
记“连抽两次2只都是正品”为A，“连抽两次2只都是次品”为B，
“连抽两次1只正品，1只次品”为C，“连抽两次第二次取出的是次品”为D
试验发生所包含的事件数10×9，满足条件的事件分别是2只都是正品有8×7种结果；2只都是次品有2×1种结果；1只正品，1只次品有2×8×2种结果； 第二次取出的是次品有2×9种结果，
则p(A)=
p(B)=
p(C)=
p(D)=
甲、乙两名魔方爱好者在30秒内复原魔方的概率分别是0.8和0.6．如果在30秒内将魔方复原称为“复原成功”，且每次复原成功与否相互之间没有影响，求：（1）甲复原三次，第三次才成功的概率；
（2）甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功的概率．
正确答案
记“甲第i次复原成功”为事件Ai，“乙第i次复原成功”为事件Bi，
依题意，P（Ai）=0.8，P（Bi）=0.6．
（1）“甲第三次才成功”为事件
所以，P(
（2）“甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功”为事件C．
所以P(C)=1-P(
3名志愿者在10月1日至10月5日期间参加社区服务工作，若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且各名志愿者的选择互不影响．求
（Ⅰ）这3名志愿者中在10月1日都参加社区服务工作的概率；
（Ⅱ）这3名志愿者中在10月1日至多有1人参加社区服务工作的概率．
正确答案
解法一：（I）这3名志愿者中在10月1号参加社区服务工作的人数恰好为3人的事件为A
P(A)=
这3名志愿者中在10月1号参加社区服务工作的人数恰好为3人的概率为
（Ⅱ）这3名志愿者中在10月1号参加社区服务工作的人数至多为1人的事件为B
P(B)=
这3名志愿者中在10月1号参加社区服务工作的人数至多为1人的概率为
解法二：
（I）这3名志愿者中在10月1号参加社区服务工作的人数恰好为3人的事件为A
P(A)=(
这3名志愿者中在10月1号参加社区服务工作的人数恰好为3人的概率为
（Ⅱ）这3名志愿者中在10月1号参加社区服务工作的人数至多为1人的事件为B
P(B)=(
这3名志愿者中在10月1号参加社区服务工作的人数至多为1人的概率为
甲、乙、丙三人参加北大自主招生考试，分理论考试和面试两部分，每部分成绩只记“合格”与“不合格”，两部分都合格就被录取．甲、乙、丙三人理论考试中合格的概率分别为
（1）甲、乙、丙三人谁被录取的可能性最大？
（2）求这三人都被录取的概率．
正确答案
分别记“甲、乙、丙被录用”为事件A、B、C，且A、B、C相互独立．
（1）甲、乙、丙被录用，即三人既通过理论考试又通过面试，
则P(A)=
比较可得P（B）＞P（C）＞P（A），
所以乙被录用的可能性最大．
（2）记“三人都被录用”为事件D，即A、B、C同时发生，即D=ABC，
则P(D)=P(ABC)=P(A)•P(B)•P(C)=
答：（1）乙录取的可能性最大；（2）三人都被录取的概率为
某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A项技术指标达标的概率为
（Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率；
（Ⅱ）任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率；
（Ⅲ）任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求Eξ与Dξ．
正确答案
（Ⅰ）一个零件经过检测为合格品，零件有A、B两项技术指标需要检测，
设各项技术指标达标与否互不影响
∴本题是一个相互独立事件同时发生的概率
设A、B两项技术指标达标的概率分别为P1、P2．
由题意得：
∴P2=
∴一个零件经过检测为合格品的概率P=P1P2=
（Ⅱ）任意抽出5个零件进行检查，本题是一个独立重复试验，
其中至多3个零件是合格品的对立事件比较简单，
可以从它的对立事件来解题，
∴至多3个零件是合格品的概率为：1-
（Ⅲ）依题意知ξ～B(4，
Eξ=4×
Dξ=4×
已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方案：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．
正确答案
（解法一）：主要依乙所验的次数分类：
若乙验两次时，有两种可能：
①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：
②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次验中没有，均可以在第二次结束）
∴乙只用两次的概率为
若乙验三次时，只有一种可能：
先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为：∴在三次验出时概率为
∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：
（解法二）：设A为甲的次数不多于乙的次数，则
则只有两种情况，甲进行的一次即验出了和甲进行了两次，乙进行了3次．
则设A1，A2分别表示甲在第一次、二次验出，并设乙在三次验出为B
则P(A1)=
∴P(
∴P(A)=1-
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