- 随机事件的概率
- 共3327题
某市有A、B两所示范高中响应政府号召，对该市甲、乙两个教育落后地区开展支教活动．经上级研究决定：向甲地派出3名A校教师和2名B校教师，向乙地派出3名A校教师和3名B校教师．由于客观原因，需从拟派往甲、乙两地的教师中各自任选一名互换支教地区．
（Ⅰ）求互换后两校派往两地区教师人数不变的概率；
（Ⅱ）求互换后A校教师派往甲地区人数不少于3名的概率．
正确答案
（Ⅰ）记“互换后派往两地区的两校的教师人数不变”为事件E，有以下两种情况：
①互换的是A校的教师，记此事件为E1，则P（E1）=
②互换的是B校的教师，记此事件为E2，则P（E2）=
则互换后派往两地区的两校的教师人数不变的概率为P（E）=P（E1）+P（E2）=
（Ⅱ）令“甲地区A校教师人数不少于3名”为事件F，包括两个事件：“甲地区A校教师人数有3名”设为事件F1；“甲地区A校教师人数有4名”设为事件F2，且事件F1、F2互斥．
则P（F1）=
甲地区A校教师人数不少于3名的概率为P（F）=P(F1)+P(F2)=
甲、乙、丙、丁四人做相互传球练习，第一次甲传给其他三人中的一人，第二次由拿球者再传给其他三人中的一人，…，且拿球者传给其他三人中的任何一人都是等可能的，求：
（Ⅰ）共传了四次，第四次球传回到甲的概率；
（Ⅱ）若规定：最多传五次球，且在传球过程中，球传回到甲手中即停止传球；设ξ表示传球停止时传球的次数，求P（ξ=5）．
正确答案
（Ⅰ）由于每个人都有3种传球方法，故4此传球的方法总数为34=81．
第三次传球后，球不能在甲的手中，第四次传球后，球一定在甲的手中．
而第二次传球后，球可在甲的手中，也可不在甲的手中．
若第二次传球后，球在甲的手中，则传球的方法数为：3×1×3×1=9，
若第二次传球后，球不在甲的手中，则传球的方法数为：3×2×2×1=12，
故第四次球传回到甲的概率为 
（Ⅱ）ξ=5说明第二次、第三次、第四次、第五次传球的都不是甲，方法有3×2×2×2×3种，而所有的传球方法共有35种，
故P(ξ=5)=
将10个白小球中的3个染成红色，3个染成兰色，试解决下列问题：
（1） 求取出3个小球中红球个数
（2） 求取出3个小球中红球个数多于白球个数的概率
正确答案
（1）
（2） 
（1）因为从10个球中任取3个，其中恰有
所以随机变量
（2）设“取出的3个球中红球数多于白球数”为事件
又
故
6个大小相同的小球分别标有数字1，1，1，2，2，2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为m，n，记S=m+n．
（I）设“S=2”为事件A，求事件A发生的概率；
（II）记Smax为S的最大值，Smin为S的最小值，若a∈[0，Smax]，b∈[Smin，3]，设“x2+2ax+b2≥0恒成立”为事件B，求事件B发生的概率．
正确答案
（I）由题知随机变量S的可能取值为2，3，4．
从盒子中摸出两个小球的基本事件总数为C62=15；
当S=2时，摸出的小球所标的数字为1，1，共有C32种，
∴P(S=2)=
∴P(A)=P(S=2)=
（II）试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤4，2≤b≤3}；
所构成事件B的区域为{（a，b）|0≤a≤4，2≤b≤3，|a|≤|b|}；
所构成事件B的概率为P（B）=
某校对每间教室的空气质量进行检测，分别在上午和下午各进行一次．空气质量每次检测结果分为A级、B级和C级．若两次检测中有C级或都是B级，则该教室的空气质量不合格．已知每间教室空气质量每次检测结果为A级、B级和C级的概率分别为0.8，0.1，0.1，且各次检测结果相互独立．
（Ⅰ）求每间教室的空气质量合格的概率；
（Ⅱ）对高三年级的三个教室进行检测，且各间教室的空气质量互不影响，求空气质量合格的教室的间数恰好为两间的概率．
正确答案
（Ⅰ）设每间教室的空气质量合格的事件为A…（1分），
每间教室的空气质量合格有两种情况：①两次检测结果都为A，概率等于0.8×0.8，②一次检测结果为A，另一次检测结果不是A，概率等于 2×0.8×0.1，
故 P（A）=0.8×0.8+2×0.8×0.1=0.8． …（6分）
答：每间教室的空气质量合格的概率0.8．
（Ⅱ）设对高三年级的三个教室进行检测，空气质量合格的教室的间数恰好为两间的事件为B…（7分）
P（B）=C32×0.82×0.21=0.384…（13分）
答：空气质量合格的教室的间数恰好为两间的概率为0.384．
袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．
（Ⅰ）从袋中任意取出两个球，求两球颜色不同的概率；
（Ⅱ）从袋中任意取出一个球，记住颜色后放回袋中，再任意取出一个球，求两次取出的球颜色不同的概率．
正确答案
（Ⅰ）记“从袋中任意取出两个球，两球颜色不同”为事件A，
取出两个球共有方法C52=10种，
其中“两球一白一黑”有C21•C31=6种．
∴P(A)=
即从袋中任意取出两个球，两球颜色不同的概率是
（Ⅱ）记“取出一球，放回后再取出一个球，两次取出的球颜色不同”为事件B，
取出一球为白球的概率为
取出一球为黑球的概率为
∴P（B）=
即取出一球，放回后再取出一个球，两次取出的球颜色不同的概率是
袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）求取球两次终止的概率
（3）求甲取到白球的概率．
正确答案
（1）设袋中原有n个白球，由题意知：
解得n=3（舍去n=-2），即袋中原有3个白球
（2）记“取球两次终止”为事件AP(A)=
（3）因为甲先取，所以甲只有可能在第1次或第3次或第5次取到白球
记“甲取到白球”为事件BP(B)=
袋中有3它白球，2它红球共5它球．
（1）若有放回地依次取出两它球，求取得的两它球中至少有一它是白球的概率．
（2）若摸到白球时得1分，摸到红球时得2分，求任意取出3它球所得总分为5的概率．
正确答案
（1）有放回地依次取出两个球，所有的取法有5×5=25种
取得的两个球中没有白球的取法有2×2=4种
∴取得的两个球中至少有一个是白球的取法有25-4=21种
由古典概型的概率公式得取得的两个球中至少有一个是白球的概率为
（2）任意取出3个球所得总分为5即摸出2个红球一个白球
∵任意取出3个球所有的取法有C53=10
摸出2个红球一个白球D的取法有C22•C31=3
由古典概型的概率公式得
∴任意取出3个球所得总分为5的概率
因金融危机，某公司的出口额下降，为此有关专家提出两种促进出口的方案，每种方案都需要分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使出口额恢复到危机前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别为0.3、0.3、0.4；第二年可以使出口额为第一年的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计第一年可以使出口额恢复到危机前的1.2倍、l．0倍、0.8倍的概率分别为0.2、0.3、0.5；第二年可以使出口额为第一年的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第一年与第二年相互独立．令ξ1（=1，2）表示方案实施两年后出口额达到危机前的倍数．
（Ⅰ）写出ξ1、ξ2的分布列；
（Ⅱ）实施哪种方案，两年后出口额超过危机前出口额的概率更大？
（Ⅲ）不管哪种方案，如果实施两年后出口额达不到、恰好达到、超过危机前出口额，预计利润分别为10万元、15万元、20万元，问实施哪种方案的平均利润更大．
正确答案
（Ⅰ）ξ1的所有取值为0.8，0.9，1.0，1.125，1.25，
其分布列为：
…（2分）
ξ2的所有取值为0.8，0.96，1.0，1，2，1.44，其分布列为
…（4分）
（Ⅱ）设实施方案一、方案二两年后超过危机前出口额的概率为P1，P2，则P1=0.15+0.15=0.3，P2=0.24+0.08=0.32
∴实施方案二两年后超过危机前出口额的概率更大．…（6分）
（Ⅲ）方案一、方案二的预计利润为η1、η2，则
…（8分）
…（10分）
∴Eη1=14.75Eη2=14.1
∴实施方案一的平均利润更大．…（12分）
某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是
（1）若抛掷4次，求S4=2的概率；
（2）已知抛掷6次的基本事件总数是N=64，求前两次均出现正面且2≤S6≤4的概率．
正确答案
（1）S4=2，需4次中有3次正面1次反面．设其概率为P1，再设正面向上为a，反面向上为b．则基本事件空间为Ω={aaaa，aaab，aaba，abaa，baaa，bbbb，bbba，bbab，babb，abbbaabb，bbaa，baab，abba，abab，baba}，则n=16，n1=4，所以P1=
（2）6次中前两次均出现正面，且要使2≤S6≤4则后4次中有2次正面，2次反面或3次正面一次反面，设且概率为P2，则N=64，由（1）知n2=10，所以P2=
扫码查看完整答案与解析