- 随机事件的概率
- 共3327题
开学初，小源到建设银行营业网点兑换了此前在网上预约的中国高铁纪念币。这枚纪念币由中国人民银行发行，面额10元，每人限兑20枚，且需要提前预约。小源打算与班上同学分享自己的喜悦。他可以向大家这样介绍
①纪念币面额和实际购买力都是由中国人民银行规定的
②纪念币可以直接购买商品，也具有支付手段等货币职能
③纪念币发行量有限，具有一定的收藏价值和升值空间
④纪念币不能与同面额人民币等值流通，必须在规定时间地点使用
正确答案
解析
①错误，国家无权规定纪念币的实际购买力；④错误，纪念币与同面额人民币等值流通，在任何时间地点都可使用；由中国人民银行发行的纪念币属于法定货币，可以直接购买商品，也具有支付手段等货币职能，因其发行量有限，具有一定的收藏价值和升值空间，故②③正确。
知识点
甲盒中有黑、白两种颜色的球各2个；乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各1个．
（1）从两个盒子中各取1个球，求取出的两个球是不同颜色的概率；
（2）若把两盒中的球混到一起，从中不放回的先后取两球，求取出的两个球是不同颜色的概率．
正确答案
（1）取出的两球是不同颜色的对立事件是取出的两球是相同颜色，
取出的两球是相同颜色包含取出的两球都是白色，都是黑色，这两种情况是互斥的，
当两个盒子都取出的是黑色的概率是
当两个盒子取出的球都是白色的概率是
∴取出的球颜色相同的概率是
∴取出的球颜色不同的概率是1-
（2）取出的两球是不同颜色的对立事件是取出的两球是相同颜色，
取出的两球是相同颜色包含取出的两球都是白色，都是黑色，这两种情况是互斥的，
两次都取得颜色相同的球的概率是
∴取出的两个球是不同颜色的概率是1-
即取出的两个球颜色不同的概率是
设事件A发生的概率为P，若在A发生的条件下B发生的概率为P′，则由A产生B的概率为PP′，根据这一规律解答下题：一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第0，1，2，3，…，100，共101站，设棋子跳到第n站的概率为Pn，一枚棋子开始在第0站（即P0=1），由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若硬币出现正面则棋子向前跳动一站，出现反面则向前跳动两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或100站（失败）时，游戏结束．已知硬币出现正反面的概率都为
（1）求P1，P2，P3，并根据棋子跳到第n+1站的情况，试用Pn，Pn-1表示Pn+1；
（2）设an=Pn-Pn-1（1≤n≤100），求证：数列{an}是等比数列，并求出{an}的通项公式；
（3）求玩该游戏获胜的概率．
正确答案
（1）根据题意，棋子跳到第n站的概率为Pn，
则P1即棋子跳到第一站，有一种情况，即掷出正面，故P1=
P2即棋子跳到第2站，有2种情况，即两次掷出正面或一次掷出反面，则P2=
P3即棋子跳到第3站，有2种情况，即在第1站掷出反面，或在第2站掷出正面，则P3=
故Pn+1即棋子跳到第n站，有2种情况，即在第n-1站掷出反面，或在第n站掷出正面，则Pn+1=
（2）由（1）知：Pn+1=
∴Pn+1-Pn=-
∴{Pn-Pn-1}表示等比数列，其公比为-
又a1=P1-P0=-
∴an=(-
（3）玩该游戏获胜，即求P99
由（2）知，Pn-Pn-1=(-
1
2
)n（2≤n≤100），
∴P2-P1=
P3-P2=-
Pn-Pn-1=(-
1
2
)n（2≤n≤100），
∴Pn-P1=
1
2
)n
∴Pn-P1=
∴Pn=
1
2
)n-1]
∴n=99时，P99=
1
2
)100]．
某公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有2个A班同学和2个B班同学；乙景点内有2个A班同学和3个B班同学，后由于某种原因，甲、乙两景点各有一个同学交换景点观光．
（1）求甲景点恰有2个A班同学的概率；
（2）求甲景点A班同学数ξ的分布列及数学期望．
正确答案
（1）甲、乙两景点各有一个同学交换景点后，甲景点恰有2个A班同学有两种情况
①互换的是A班同学，此时甲景点恰有2个A班的同学的事件记为A1．
P(A1)=
②互换的是B班同学，此时甲景点恰有2个A班的同学的事件记为A2．．
P(A2)=
所以甲景点恰有2个A班的同学的概率P=P(A1)+P(A2)=
（2）甲景点内A班的同学数为ξ，
则P(ξ=1)=
P(ξ=2)=
P(ξ=3)=
所以Eξ=1×
甲盒中有黑、白两种颜色的球各2个；乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各1个．
（1）从两个盒子中各取1个球，求取出的两个球是不同颜色的概率；
（2）若把两盒中的球混到一起，从中不放回的先后取两球，求取出的两个球是不同颜色的概率．
正确答案
（1）取出的两球是不同颜色的对立事件是取出的两球是相同颜色，
取出的两球是相同颜色包含取出的两球都是白色，都是黑色，这两种情况是互斥的，
当两个盒子都取出的是黑色的概率是
当两个盒子取出的球都是白色的概率是
∴取出的球颜色相同的概率是
∴取出的球颜色不同的概率是1-
（2）取出的两球是不同颜色的对立事件是取出的两球是相同颜色，
取出的两球是相同颜色包含取出的两球都是白色，都是黑色，这两种情况是互斥的，
两次都取得颜色相同的球的概率是
∴取出的两个球是不同颜色的概率是1-
即取出的两个球颜色不同的概率是
设a，b，c分别是先后三次抛掷一枚骰子得到的点数．
（Ⅰ）求a+b+c为奇数的概率；（Ⅱ）设A={x|x2-bx+2c＜0，x∈R}，求A≠∅的概率．
正确答案
（Ⅰ）由题意知本题是一个n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，
设事件A：抛掷一枚骰子得到点数是奇数，则P(A)=
∴P(
又a+b+c为奇数，则有a，b，c都为奇数；或a，b，c中有2个为偶数，一个为奇数
∴所求概率为P=
（Ⅱ）设f（x）=x2-bx+2c由A≠∅，知△=b2-8c＞0．
又b，c∈{1，2，3，4，5，6}
所以b=6时，c=1，2，3，4；b=5时，c=1，2，3；b=4时，c=1；b=3时，c=1．（10分）
由于f（x）随b，c取值变化，有6×6=36个
故所求的概率为P=
口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1、2、3、4、5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
（1）求两个编号的和为6的概率；
（2）求甲赢的事件发生的概率．
正确答案
（1）编号的和为6
甲、乙只能取（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），
∴P=
（2）甲、乙摸到球的编号只能同奇同偶
若甲摸到奇数，则P=
若甲摸到偶数，则P=
∴甲赢的概率为
A有一只放有x个红球，y个白球，z个黄球的箱子（x、y、z≥0，且x+y+z=6），B有一只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色，规定同色时为A胜，异色时为B胜．
（1）用x、y、z表示B胜的概率；（2）当A如何调整箱子中球时，才能使自己获胜的概率最大？
（3）若规定A取红球，白球，黄球而获胜的得分分别为1，2，3分，否则得0分，求A得分的期望的最大值及此时x，y，z的值．
正确答案
（1）显然A胜与B胜为对立事件，
A胜分为三个基本事件：
①A1：“A、B均取红球”；
②A2：“A、B均取白球”；
③A3：“A、B均取黄球”．
∵P(A1)=
∴P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=
∴P(B)=1-
（2）由（1）知P(A)=
又x+y+z=6，x≥0，y≥0，z≥0，
于是P(A)=
∴当x=6，y=z=0，
即A在箱中只放6个红球时，获胜概率最大，其值为
（3）设A的得分为随机变量ξ，
则P(ξ=3)=
P(ξ=2)=
P(ξ=1)=
P(ξ=0)=1-
∴Eξ=3×
∵x+y+z=6（x，y，z∈N），
∴y=6时，
Eξ取得最大值为
此时x=z=0．
“好运道”商店举行抽奖促销活动，规定一位顾客可以从0、1、2、…、9这10个号码中抽出5个不同的号码，若有4个以上的号码与中奖号码相同（不计顺序），则有现金奖励，如方框中广告所示．某人买一件商品，若在该商店买，价格是730元，获一次抽奖机会；若在其它商店买，价格是700元．
（1）、求参加抽奖，获5000元奖金的概率．
（2）、请你利用概率的知识，分析该顾客是否应该在“好运道”商店购买该商品？
正确答案
（1）获5000元奖金的概率为：
（2）获100元奖金的概率为：
（本小题满分12分）
某校从参加某次“广州亚运”知识竞赛测试的学生中随机抽出
(Ⅰ)求分数在
（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的
平均分；
（Ⅲ）若从
正确答案
17．（本题满分12分）
(Ⅰ)设分数在
根据频率分布直方图，
则有
可得
（求解频率3分，画图1分）
（Ⅱ）平均分为：
（Ⅲ）学生成绩在
并且
则
所以
……………………11分
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