- 随机事件的概率
- 共3327题
一个袋子中有8个小球，其中有4个白球和4个黑球，现从中每次任意取出一个球，8次取完，求恰好有3次连续取出白球的概率．
正确答案
由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件数是
满足条件的事件是3次连续取出白球有20种，
∴恰好有3次连续取出白球的概率是
即恰好三次连续取出白球的概率是
（文）质检部门将对12个厂家生产的婴幼儿奶粉进行质量抽检，若被抽检厂家的奶粉经检验合格，则该厂家的奶粉即可投放市场；若检验不合格，则该厂家的奶粉将不能投放市场且作废品处理．假定这12个厂家中只有2个厂家的奶粉存在质量问题（即检验不能合格），但不知道是哪两个厂家的奶粉．
（I）从中任意选取3个厂家的奶粉进行检验，求至少有2个厂家的奶粉检验合格的概率；
（Ⅱ）每次从中任意抽取一个厂家的奶粉进行检验（抽检不重复），求恰好在第二次抽检到合格奶粉的概率．
正确答案
（I）任意选取3个厂家进行抽检，至少有2个厂家的奶粉检验合格有两种情形；P2=
一是选取抽检的3个厂家中，恰有2个厂家的奶粉合格，此时的概率为P1=
二是选取抽检的3个厂家的奶粉均合格，此时的概率为P2=
故所求的概率为P=P1+P2=
（Ⅱ）记A为恰好在第二次抽检到合格奶粉的事件，此事件说明第一次抽到的是次品，第二次抽到的是合格品，故 P(A)=
小王经营一家面包店，每天从生产商处订购一种品牌现烤面包出售．已知每卖出一个现烤面包可获利10元，若当天卖不完，则未卖出的现烤面包因过期每个亏损5元．经统计，得到在某月（30天）中，小王每天售出的现烤面包个数n及天数如下表：
试依据以频率估计概率的统计思想，解答下列问题：
（Ⅰ）计算小王某天售出该现烤面包超过13个的概率；
（Ⅱ）若在今后的连续5天中，售出该现烤面包超过13个的天数大于3天，则小王决定增加订购量．试求小王增加订购量的概率．
（Ⅲ）若小王每天订购14个该现烤面包，求其一天出售该现烤面包所获利润的分布列和数学期望．
正确答案
（Ⅰ）记事件A=“小王某天售出超过13个现烤面包”，…（1分）
用频率估计概率可知：P（A）=0.2+0.3=0.5．…（2分）
所以小王某天售出超过13个现烤面包的概率为0.5．…（3分）
（Ⅱ）设在最近的5天中售出超过13个的天数为ξ，
则ξ～B（5，
记事件B=“小王增加订购量”，
则有P（B）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=
所以小王增加订购量的概率为
（Ⅲ）若小王每天订购14个现烤面包，设其一天的利润为η元，
则η的所有可能取值为80，95，110，125，140．…..（9分）
其分布列为：
…（11分）
则Eη=80×0.1+95×0.1+110×0.1+125×0.2+140×0.5=123.5
所以小王每天出售该现烤面包所获利润的数学期望为123.5元．…..（13分）
某品牌专卖店准备在春节期间举行促销活动，根据市场调查，该店决定从2种型号的洗衣机，2种型号的电视机和3种型号的电脑中，选出3种型号的商品进行促销．
（Ⅰ）试求选出的3种型号的商品中至少有一种是电脑的概率；
（Ⅱ）该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得m元奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，问该店若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多少元？
正确答案
（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，
∵从2种型号的洗衣机，2种型号的电视机，3种型号的电脑中，
选出3种型号的商品一共C73种选法．
选出的3种型号的商品中没有电脑的选法有C43种，
∴选出的3种型号的商品中至少有一种是电脑的概率为P=1-
（Ⅱ）X的所有可能的取值为0，m，2m，3m．
X=0时表示顾客在三次抽奖中都没有中奖，
∴P（X=0）=
1
2
)0(
1
2
)3=
同理可得
P（X=m）=C31(
1
2
)1(
1
2
)2=
P（X=2m）=
1
2
)2(
1
2
)1=
P（X=3m）=C33(
1
2
)3(
1
2
)0=
∴顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额X的分布列为：
于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的数学期望是
EX=0×
（Ⅲ）要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的数学期望低于商场的提价数额，
因此应有1.5m＜150，所以m＜100．
故每次中奖奖金要低于100元，才能使促销方案对商场有利．
先后投掷两枚骰子，出现的点数记作 （m，n），设 X=m+n．
（Ⅰ）求 m=n 的概率；
（Ⅱ）试列举出 X≤6 的所有可能的结果；
（Ⅲ）求 X≤3 或 X＞6 的概率．
正确答案
（Ⅰ）先后投掷两枚骰子，出现的点数情况有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），
共有36种可能结果，
而m=n有6结果，为（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），
所以 P（m=n）=
（Ⅱ）X≤6的所有可能的结果有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），
（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（5，1），
共有15种情况，
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，X≤3的所有可能的结果有3种，为（1，1）、（1，2）、（2，1），
X＞6的所有可能的结果有36-21=15，
P（X≤3或X＞6）=
在10件产品中有一等品6件，二等品2件（一等品和二等品都是正品），其余为次品．
（Ⅰ）从中任取2件进行检测，2件都是一等品的概率是多少？
（Ⅱ）从中任取2件进行检测，2件中至少有一件次品的概率是多少？
（Ⅲ）如果对产品逐个进行检测，且已检测到前3次均为正品，则第4次检测的产品仍为正品的概率是多少？
正确答案
（Ⅰ）记事件A：2件都是一等品，本题的等可能基本事件总数为45，事件A包含的基本事件数为15，
所以P(A)=
（Ⅱ）记事件B：2件中至少有一件次品，则事件
所以P(
进而可得：P(B)=1-P(
（Ⅲ）记事件C：第4次检测的产品仍为正品，
由于已检测到前3次均为正品，所以第4次检测就是从含有5件正品，
2件次品的7件产品中任取1件进行检测，所以P(C)=
甲、乙两人玩一种游戏；在装有质地、大小完全相同，编号分别为1，2，3，4，5，6六个球的口袋中，甲先模出一个球，记下编号，放回后乙再模一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
（1）求甲赢且编号和为8的事件发生的概率；
（2）这种游戏规则公平吗？试说明理由．
正确答案
（1）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的甲、乙两人取出的数字共有6×6=36（个）等可能的结果，
设“两个编号和为8”为事件A，
则事件A包含的基本事件为（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）共5个，
根据古典概型概率公式得到P(A)=
（2）这种游戏规则是公平的．
设甲胜为事件B，乙胜为事件C，
则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有18个：（1，1），（1，3），
（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），
（4，2），（4，4），（4，6），（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），
（6，4），（6，6）
∴甲胜的概率P(B)=
乙胜的概率P(C)=1-
∴这种游戏规则是公平的．
先后投掷两枚骰子，出现的点数记作 （m，n），设 X=m+n．
（Ⅰ）求 m=n 的概率；
（Ⅱ）试列举出 X≤6 的所有可能的结果；
（Ⅲ）求 X≤3 或 X＞6 的概率．
正确答案
（Ⅰ）先后投掷两枚骰子，出现的点数情况有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），
共有36种可能结果，
而m=n有6结果，为（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），
所以 P（m=n）=
（Ⅱ）X≤6的所有可能的结果有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），
（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（5，1），
共有15种情况，
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，X≤3的所有可能的结果有3种，为（1，1）、（1，2）、（2，1），
X＞6的所有可能的结果有36-21=15，
P（X≤3或X＞6）=
某公司在“2010年上海世博会知识宣传”活动中进行抽奖活动，抽奖规则是：在一个盒子中装有8张大小相同的精美卡片，其中2张印有“世博会欢迎您”字样，2张印有“世博会会徽”图案，4张印有“海宝”（世博会吉祥物）图案，现从盒子里无放回的摸取卡片，找出印有“海宝”图案的卡片表示中奖且停止摸卡．
（I）求恰好第三次中奖的概率；
（II）求最多摸两次中奖的概率；
正确答案
（Ⅰ）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
∵试验发生包含的所有事件是从8个元素中选3个，共有A83种结果，
而满足条件的事件数是A42A42，
∴恰好第三次中奖的概率为：P=
（Ⅱ）最多摸两次中奖包括两种情况，一是第一次模卡中奖，二是第二次模卡中奖
这两个事件是互斥事件，
∵第一次摸卡中奖的概率为：P1=
第二次摸卡中奖的概率为：P2=
∴根据互斥事件的概率公式得到最多摸两次中奖的概率为P=P1+P2=
每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6）．
（I）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；
（II）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；
（III）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率．
正确答案
（I）由题意知，本题是一个等可能事件的概率，
∵试验发生包含的事件数4×4=16，
满足条件的事件是向上的数不同，第一次由6种选择，
第二次出现5种结果，共有5×6=30，
设A表示事件“抛掷2次，向上的数不同”，
∴P(A)=
答：抛掷2次，向上的数不同的概率为
（II）由题意知，本题是一个等可能事件的概率，
∵试验发生包含的事件数4×4=16，
满足条件的事件是向上的数之和为6的结果有（1，5）、（2，4）、
（3，3）、（4，2）、（5，1）5种，
设B表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”．
∴P(B)=
答：抛掷2次，向上的数之和为6的概率为
（III）设C表示事件“抛掷5次，向上的数为奇数恰好出现3次”，
即在5次独立重复试验中，事件向上的数为奇数恰好出现3次，
在这个试验中向上的数为奇数的概率是
根据独立重复试验的概率公式得到
∴P(C)=P5(3)=
答：抛掷5次，向上的数为奇数恰好出现3次的概率为
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