- 随机事件的概率
- 共3327题
某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失，现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9 和0.85，若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少。
（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值）
正确答案
解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120（万元）；
②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1-0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元）
③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1-0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）；
④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（1-0.9）（1-0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）
综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少。
某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5。若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6。实施每种方案，第二年与第一年相互独立。令ξi（i=1，2）表示方案i实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数，
（1）写出ξ1、ξ2的分布列；
（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？
（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？
正确答案
解：（1）ξ1的所有取值为
ξ2的所有取值为
ξ1、ξ2的分布列分别为：
（2）令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，
可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大；
（3）令
所以
可见，方案一所带来的平均效益更大。
某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在B区投篮3次。在A区每进一球得2分，不进球得0分；在B区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A区和B区每次投篮进球的概率分别为
(1)如果选手甲以在A、B区投篮得分的期望较高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择在哪个区投篮？
(2)求选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率。
正确答案
解：(1)设选手甲在A区投两次篮的进球数为X，则
则选手甲在A区投篮得分的期望为
设选手甲在B区投三次篮的进球数为Y，则
则选手甲在B区投篮得分的期望为3×1=3，
∵3.6＞3，
∴选手甲应该选择在A区投篮．
(2)设“选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分”为事件C，
“甲在A区投篮得2分、在B区投篮得0分”为事件C1，
“甲在A区投篮得4分、在B区投篮得0分”为事件C2，
“甲在A区投篮得4分、在B区投篮得3分”为事件C3，
则C=C1∪C2∪C3，其中C1，C2，C3为互斥事件，
则：P(C)=P(C1∪C2∪C3)=P(C1)+P(C2)+P(C3)
故选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率为
已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为
（Ⅰ）求随机变量
（Ⅱ）记“关于x的不等式
正确答案
解：（Ⅰ）由题意知，
又“
∴
“
∴
“
∴
∴
（Ⅱ）
当
当
所以不等式的解集是R，说明事件A发生；
当
其解集为
∴
某部队进行射击训练，每个学员最多只能射击4次，学员如有2次命中目标，那么就不再继续射击；假设某学员每次命中目标的概率都是
（1）求该学员在前两次射击中至少有一次命中目标的概率；
（2）记该学员射击的次数为X，求X的分布列及X的数学期望．
正确答案
解：（1）记“该学员在前两次射击中至少有一次命中目标”的事件为事件A，
则
答：该学员在前两次射击中至少有一次命中目标的概率为
（2）该学员射击的次数X可能取值为2，3，4，
且
故的分布列为：
所以X的数学期望：
某会议室用3盏灯照明，每盏灯各使用节能灯棍一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯棍的寿命有关，该型号的灯棍寿命为1年以上的概率为0.8，寿命为2年以上的概率为0.3，从使用之日起每满1年进行一次灯棍更换工作，只更换已坏的灯棍，平时不换．
（I）在第一次灯棍更换工作中，求不需要更换灯棍的概率；
（II）在第二次灯棍更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该灯需要更换灯棍的概率；
（III）设在第二次灯棍更换工作中，需要更换的灯棍数为ξ，求ξ的分布列和期望．
正确答案
解：（I）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，
设在第一次更换灯棍工作中不需要更换灯棍的概率为P1，
∴P1=0.83=0.152
（II）在第二次灯棍更换工作中，对该盏灯来说，在第1，2次都更换了灯棍的概率为
（1﹣0.8）2；在第一次未更换灯棍而在第二次需要更换灯棍的概率为0.8（1﹣0.3），
由互斥事件的概率得到
∴所求概率为P=（1﹣0.8）2+0.8（1﹣0.3）=0.6；
（III）ξ的可能取值为0，1，2，3；某盏灯在第二次灯棍更换工作中需要更换灯棍的概率为
p=0.6
∴P（ξ=0）=C30p0（1﹣p）3=C300.43=0.064，
P（ξ=1）=C31p0（1﹣p）2=C310.6×0.42=0.288，
P（ξ=2）=C32p2（1﹣p）1=C320.62×0.41=0.432，
P（ξ=3）=C33p0（1﹣p）0=C330.63×0.40=0.216，
∴ξ的分布列为
此分布为二项分布ξ～N（3，0.6）
∴Eξ=np=3×0.6=1.8．
某工厂2011年第一季度生产的A，B，C，D四种型号的产品产量用条形图表示如图，现用分层抽样的方法从中选取50件样品参加四月份的一个展销会
（1）问A，B，C，D四种型号的产品各抽取多少件？
（2）从50件样品中随机地抽取2件，求这2件产品恰好是不同型号产品的概率；
（3）从A，C型号的产品中随机地抽取3件，用ξ表示抽取A 种型号的产品件数，求ξ的分布列和数学期望。
正确答案
解：（1）从条形图上可知，共生产产品50+100+150+200=500（件），
样品占总体的比为
所以A，B，C，D四种型号的产品分别抽取
即样本中应抽取A产品10件，B产品20件，C产品5件，D 产品15件。
（2）从50件产品中任取2件共有
2件恰为同一产品的方法数为
所以2件恰好为不同型号的产品的概率为
（3）ξ的可能取值为0，1，2，3，依题意得
所以ξ的分布列为
某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润，
（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；
（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη。
正确答案
解：（Ⅰ）由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”，
知
（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元，
η的分布列为
从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数。
（1）求ξ的分布列；
（2）ξ的数学期望；
（2）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率。
正确答案
解：（1）
所以，
（2）由（1），
（3）由（1），“所选3人中女生人数
我校开设甲、乙、丙三门校本选修课程，学生是否选修哪门课互不影响．己知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为0.08，选修甲和乙而不选修丙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88．
（1）求学生李华选甲校本课程的概率；
（2）用ξ表示该学生选修的校本课程门数和没有选修的校本课程门数的乘积，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）设该学生选修甲、乙、丙三门校本课程的概率分别为x，y，z则
∴
∴学生李华选甲校本课程的概率为0.4
（2）依题意，ξ的取值为0和2，
由（1）知，P（ξ）=0.24，P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）=0.76
分布列为：
E（ξ）=0×0.24+2×0.76=1.52
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