- 随机事件的概率
- 共3327题
对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数。根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
（Ⅰ）求出表中M，p及图中a的值；
（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15)内的人数；
（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30)内的概率。
正确答案
解：（Ⅰ）由分组[10，15)内的频数是10，频率是0.25知
因为频数之和为40，所以
因为a是对应分组[15，20)的频率与组距的商，
所以
（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10，15)内的频率是0.25，
所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人；
（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，
设在区间[20，25)内的人为
则任选2人共有
而两人都在[25，30)内只能是
所以所求概率为
某学校为了了解学生的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了n名同学进行调查．下表是这n名同学的日睡眠时间的频率分布表，
(1)求n的值；若a=20，将表中数据补全，并画出频率分布直方图；
(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[4，5)的中点值是4.5)作为代表．若据此计算的上述数据的平均值为6.52，求a，b的值，并由此估计该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上的概率．
正确答案
解：(1)由频率分布表可知n=
补全数据如下表：
频率分布直方图如下：
(2)由题意
解得a=15，b=15，
设“该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上”为事件A，
则P(A)=P(x≥7)=
答：该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上的概率约为0.38。
PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标。
某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取6天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出2天。
（Ⅰ）求恰有一天空气质量超标的概率；
（Ⅱ）求至多有一天空气质量超标的概率。
正确答案
解： 由茎叶图知：6天有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标，
记未超标的4天为a，b，c，d，超标的两天为e，f，
则从6天中抽取2天的所有情况为：
ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，
基本事件数为15，
（Ⅰ）记 “6天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件A，
可能结果为：ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，
基本事件数为8，
∴
（Ⅱ）记“至多有一天空气质量超标”为事件B，
“2天都超标”为事件C，其可能结果为ef，
故
∴
如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：
（1）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
（2）分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
（3）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径。
正确答案
解：（1）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人，用频率估计相应的概率为0.44；
（2）选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：
（3）A1，A2，分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；
B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站。
由（2）知P（A1） =0.1+0.2+0.3=0.6
P（A2）=0.1+0.4=0.5，
P（A1）>P（A2） 甲应选择L1
P（B1）=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8
P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9，
P（B2）＞P（B1），
∴ 乙应选择L2。
某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关。据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5；已知近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160。
（1）完成如下的频率分布表：
（2）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份的降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率。
正确答案
解：（1）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为：
（2）P（“发电量低于490万千瓦时”）
=P（Y＜490或Y＞530）=P（X＜130或＞210）=P（X=70）+P（X=110）+P（X=220）=
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为
某中学研究性学习小组，为了考查高中学生的作文水平与爱看课外书的关系，在本校高三年级随机调查了50名学生，调查结果表明：在爱看课外书的25人中有18人作文水平好，另7人作文水平一般；在不爱看课外书的25人中有6 人作文水平好，另19人作文水平一般。
（1）试根据以上数据建立一个2×2列联表，并运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生的作文水平与爱看课外书有关系？
（2）将其中某5名爱看课外书且作文水平好的学生分别编号为1，2，3，4，5，某5名爱看课外书且作文水平一般的学生也分别编号为1，2，3，4，5，从这两组学生中各任选1人进行学习交流，求被选取的两名学生的编号之和为3的倍数或4的倍数的概率。
附：K2的观测值计算公式：
临界值表：
正确答案
解：（1）2×2列联表如下：
因为
由表知，P（K2≥10.828）≈0.001
故有99.9%的把握认为中学生的作文水平与爱看课外书有关系。
（2）设“被选取的两名学生的编号之和为3的倍数”为事件A，“被选取的两名学生的编号之和为4的倍数”为事件B
因为事件A所包含的基本事件为：（1，2），（1，5），（2，1），（2，4），（3，3），（4，2），（4，5），（5，1），（5，4），共9个，
基本事件总数为5×5= 25，所以
因为事件B所包含的基本事件为：（1，3），（2，2），（3，1），（3，5），（4，4），（5，3），共6个，
所以
因为事件A，B互斥，
所以P（A∪B）=P（A）+P（B）=
故被选取的两名学生的编号之和为3的倍数或4的倍数的概率是
在一次考试中，要从10道题中随机的抽出5道题进行考试，做对其中3道题，就可获得及格，某考生会做10道题中的6道题．求该考生获得及格的概率．
正确答案
由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件数是C105
满足条件的事件数是C36C24+C46C14+C56
设“该考生获得及格的”的事件为A
则 P(A)=
答：该考生获得及格的概率为
如图，A、B两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4，现从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量．
（1）设选取的三条网线由A到B可通过的信息量为x，当x≥6时，才能保证信息畅通，求信息畅通的概率．
（2）求选取的三条网线可通过信息总量ξ的数学期望．
正确答案
（1）∵1+1+4=1+2+3=6，
∴P（x=6）=
∵1+2+4=2+2+3=7，
∴P（x=7）=
∴P（x=8）=
∴P（x=9）=
∴线路信息畅通的概率是
（2）线路可通过的信息量x，x=4，5，6，7，8，9
∵1+1+2=4，P（x=4）=
∵1+1+3=1+2+2=5，P（x=5）=
∴线路通过信息量的数学期望=4×
下列说法中正确的是 ______
（1）事件A、B至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大；
（2）事件A、B同时发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率小；
（3）互斥事件一定是对立事件，对立事件也是互斥事件；
（4）对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件；
（5）若A与B是对立事件，则A+B不可能是必然事件．
正确答案
事件A、B至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大和事件A、B同时发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率小，这种说法不一定正确，故（1）（2）错误
对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，得到（3）错误，（4）正确，
若A与B是对立事件，则A+B一定是必然事件
故答案为：（4）
出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是
（1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；
（2）求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差．
正确答案
（1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，
所以 P=(1-
（2）易知ξ\～B(6，
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