- 随机事件的概率
- 共3327题
某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：（1）都抽到某一指定号码；
（2）恰有一次抽到某一指定号码；
（3）至少有一次抽到某一指定号码．
正确答案
（1）记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，
则“两次抽奖都抽到某一指定号码”为事件AB，由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立．于是由独立性可得，
两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为P（AB）=P（A）P（B）=0.05×0.05=0.0025；
（2）“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A
根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P（A
=0.05×（1-0.05）+（1-0.05）×0.05=0.095；
（3）“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB）∪（A
由于事件AB，A
所求的概率为P（AB）+P（A
在一天内甲、乙、丙三台设备是否需要维护相互之间没有影响，且甲、乙、丙在一天内不需要维护的概率依次为0.9、0.8、0.85．则在一天内
（I）三台设备都需要维护的概率是多少？
（II）恰有一台设备需要维护的概率是多少？
（III）至少有一台设备需要维护的概率是多少？
正确答案
记甲、乙、丙三台设备在一天内不需要维护的事件分别为A，B，C，
则P（A）=0.9，P（B）=0.8，P（C）=0.85．
（I）三台设备都需要维护的概率
p1=P(
=（1-0.9）×（1-0.8）×（1-0.85）=0.003．
答：三台设备都需要维护的概率为0.003．
（II）恰有一台设备需要维护的概率
p2=P(
=（1-0.9）×0.8×0.85+0.9×（1-0.8）×0.85+0.9×0.8×（1-0.85）
=0.329．
答：恰有一台设备需要维护的概率为0.329．
（III）三台设备都不需要维护的概率
p3=P（ABC）=P（A）•P（B）•P（C）=0.612，
所以至少有一台设备需要维护的概率p4=1-p3=0.388．
答：至少有一台设备需要维护的概率为0.388．
某班甲、乙、丙三名同学参加省数学竞赛选拔考试，成绩合格可获得参加竞赛的资格．其中甲同学表示成绩合格就去参加，但乙、丙同学约定：两人成绩都合格才一同参加，否则都不参加，设每人成绩合格的概率都是
（1）三人中至少有1人成绩合格的概率；
（2）去参加竞赛的人数ξ的分布列和数学期望．
正确答案
（1）用A，B，C分别表示甲乙丙三人参加省数学竞赛选拔考试成绩合格，由题意知A，B，C相互独立，且P（A）=
1
3
)3=
（2）由题意由于ξ表示去参加竞赛的人数，所以该随机变量可以取值0，1，2，3，
P（ξ=0）=P(
1
3
)2•
1
3
)2•
1
3
)3 =
P（ξ=1）=P(A
2
3
)2•
2
3
)2•
1
3
)2•
P（ξ=2）=P(
P（ξ=3）=P(A)P(B)P(C)=P(A)P(B)P(C)=
所以ξ的分布列为：
所以随机变量ξ的期望Eξ=0×
甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是
（1）求乙射击4次，至少1次未击中目标的概率；
（2）若甲、乙各射击三次，求甲比乙多击中两次的概率。（结果用分数表示）
正确答案
解：（1）记“乙连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A，
由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，
故P（A）=
所以，乙射击4次，至少1次未击中目标的概率为
（2）记“甲射击3次恰好2次击中目标”为事件B，“乙射击3次均未击中目标”为事件C，
“甲射击3次全击中目标”为事件D，“乙射击3次恰好1次击中目标”为事件E，
则甲、乙各射击三次，甲比乙多击中两次的概率
P=P(B)P(C)+P(D)P(E)=
所以，甲、乙各射击三次，甲比乙多击中两次的概率为
在数学考试中，小明的成绩在90分及以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分及以上成绩的概率和小明考试不及格（低于60分）的概率．
正确答案
设小明的数学考试成绩在90分及以上，在80～89分，在70～79分，在60～69分，分别为事件B，C，D，E，
这4个事件是彼此互斥的；
根据互斥事件的加法公式，
小明的考试成绩在80分及以上的概率为P（B+C）=P（B）+P（C）=0.18+0.51=0.69．
小明考试及格的概率，即成绩在60分及以上的概率为P（B+C+D+E）=P（B）+P（C）+P（D）+P（E）=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93．
而小明考试不及格与小明考试及格互为对立事件，
所以小明考试不及格的概率为1-P（B+C+D+E）=1-0.93=0.07．
为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中
（Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；
（Ⅱ）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ。
正确答案
解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡，
设事件B为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，
事件A1为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，
事件A2为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”，
所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，
所以ξ的分布列为
所以
从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件.假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96，
（Ⅰ）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；
（Ⅱ）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率P（B）。
正确答案
解：（Ⅰ）记A0表示事件“取出2件产品中无二等品”，
A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”，
则A0，A1互斥，A=A0+A1，
故P（A）=P（A0+A1）=P（A0）+P（A1）=
于是0.96
解得p1=0.2，p2=-0.2（舍去）；
（Ⅱ）记B0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则B=
若该批产品共100件，由（Ⅰ）知其二等品有100×0.2=20件，
故
某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响，求：
（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；
（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小。（说明理由）
正确答案
解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，
则P（A）=a，P（B）=b，P（C）=c，
（Ⅰ）应聘者用方案一考试通过的概率
=
=
应聘者用方案二考试通过的概率
（Ⅱ）因为
所以
故
即采用第一种方案，该应聘者考试通过的概率较大。
“上海世博会”于2010年5月1日至10月31日在上海举行。世博会“中国馆·贵宾厅”作为接待中外贵宾的重要场所，陈列其中的艺术品是体现兼容并蓄、海纳百川的重要文化载体。上海世博会事务协调局举办了“中国2010年上海世博会'中国馆·贵宾厅'艺术品方案征集”活动。某地美术馆从馆藏的中国画、书法、油画、陶艺作品中各选一件代表作参与应征，假设代表作中中国画、书法、油画入选“中国馆·贵宾厅”的概率均为
（1）求该地美术馆选送的四件代表作中恰有一件作品入选“中国馆·贵宾厅”的概率。
（2）设该地美书馆选送的四件代表作中入选“中国馆·贵宾厅”的作品件数为随机变量ξ，求ξ的数学期望。
正确答案
解：记“该地美术馆选送的中国画、书法、油画中恰有i件作品入选‘中国馆·贵宾厅’”为事件Ai（i=0，1，2，3），记“代表作中陶艺入选‘中国馆·贵宾厅’”为事件B
（1）该地美术馆选送的四件代表作中恰有1件作品入选“中国馆·贵宾厅”的概率为
（2）ξ的取值为0，1，2，3，4
该地美术馆选送的四件代表作中没有作品入选“中国馆·贵宾厅”的概率为
该地美术馆选送的四件代表作中恰有2件作品入选“中国馆·贵宾厅”的概率为
该地美术馆选送的四件代表作中恰有3件作品入选“中国馆·贵宾厅”的概率为
该地美术馆选送的四件代表作品全部入选“中国馆·贵宾厅”的概率为
由（1）得
∴随机变量ξ的分布列为
∴随机变量ξ的期望为
从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件。假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96，
（Ⅰ）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；
（Ⅱ）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列。
正确答案
解：（Ⅰ）记A0表示事件“取出2件产品中无二等品”，
A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”，
则A0，A1互斥，A=A0+A1，
故P（A）=P（A0+A1）=P（A0）+P（A1）=
于是0.96
解得p1=0.2，p2=-0.2（舍去）；
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，
若该批产品共100件，
由（Ⅰ）知其二等品有100×0.2=20件，
故
所以ξ的分布列为
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