- 随机事件的概率
- 共3327题
已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病，下面是两种化验方案：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止。
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验。
求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率。
正确答案
解：记A1、A2分别表示依方案甲需化验1次、2次，
B表示依方案乙需化验3次，
A表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数，
依题意知A2与B独立，且
=P(A1)+P(A2·B)
=P(A1)+P(A2)·P(B)
甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛时可以用三局二胜或五局三胜制，问：在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性大？
正确答案
（1）如果采用三局两胜制，
则甲在下列两种情况下获胜：A1-2：0（甲净胜二局），
A2-2：1（前二局甲一胜一负，第三局甲胜）．
p（A1）=0.6×0.6=0.36，p（A2）=
因为A1与A2互斥，所以甲胜概率为p（A1+A2）=0.648…．（6分）
（2）如果采用五局三胜制，则甲在下列三种情况下获胜：B1-3：0（甲净胜3局），
B2-3：1（前3局甲2胜1负，第四局甲胜），
B3-3：2（前四局各胜2局，第五局甲胜）．
因为B1，B2，B2互斥，
所以甲胜概率为p（B1+B2+B3）
=p（B1）+p（B2）+p（B3）
=0.63+
由（1），（2）可知在五局三胜制下，甲获胜的可能性大．
在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，先从这个盒子中有放回地先后抽取两张卡片，设这两张卡片的号码分别为x，y，O为坐标原点，P（x-2，x-y），记
（1）求随机变量
（2）求
正确答案
解：（1）当（x，y）=（1，3）或（3，1）时，
令“
则
（2）易知
当
当
当
所以
所以
某商场搞促销，当顾客购买商品的金额达到一定数量之后可以抽奖，根据顾客购买商品的金额，从箱中(装有4只红球，3只白球，且除颜色外，球的外部特征完全相同)每抽到一只红球奖励20元的商品，每抽到一只白球奖励10元的商品(当顾客通过抽奖的方法确定了获奖商品后，即将小球全部放回箱中)．
(1)当顾客购买金额超过500元而少于1000元(含1000元)时，可从箱中一次随机抽取3个小球，求其中至少有一个红球的概率；
(2)当顾客购买金额超过1000元时，可一次随机抽取4个小球，设他所获奖商品的金额为ξ元，求ξ的概率分布列和数学期望．
正确答案
解：(1)基本事件总数n=
设事件A={任取3球，至少有一个红球}，则事件
∴P(
∵A与
于是P(A)=1-P(
即该顾客任取3球，至少有一个红球的概率为
(2)依题意，ξ的可能取值为50，60，70，80，
ξ=50表示所取4球为3白1红(3×10+1×20=50)，
∴P(ξ=50)=
ξ=60表示所取4球为2白2红(2×10+2×20=60)，
∴P(ξ=60)=
ξ=70表示所取4球为3红1白(3×20+1×10=70)，
∴P(ξ=70)=
ξ=80表示所取4球全为红球(4×20=80)，
∴P(ξ=80)=
于是ξ的分布列为：
∴Eξ=
即该顾客获奖的期望是
某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动。活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置。若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券，例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和，
(1)若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；
(2)若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X(元)，求随机变量X的分布列和数学期望．
正确答案
解：设指针落在A、B、C区域分别记为事件A、B、C，则
(1)若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域，
∴
即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是
(2)由题意得，该顾客可转动转盘2次，
随机变量X的可能值为0，30，60，90，120，
所以，随机变量X的分布列为：
其数学期望
某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，椐统计，随机变量ξ的概率分布如下：
（Ⅰ）求a的值和ξ的数学期望；
（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．
正确答案
（1）由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1，解得a=0.2，
∴ξ的概率分布为
∴Eξ=0*0.1+1*0.3+2*0.4+3*0.2=1.7
（2）设事件A表示“两个月内共被投诉2次”事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；
事件A2表示“两个月内每月均被投诉12次”
则由事件的独立性得
P（A1）=C21P（ξ=2）P（ξ=0）=2*0.4*0.1=0.08
P（A2）=[P（ξ=1）]2=0.32=0.09
∴P（A）=P（A1）+P（A2）=0.08+0.09=0.17
故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17
设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5，
（1）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率；
（2）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率。
正确答案
解：（Ⅰ）设Ak表示“第k人命中目标”，k=1，2，3，
这里，A1，A2，A3独立，且P（A1）=0.7，P（A2）=0.6，P（A3）=0.5，
从而，至少有一人命中目标的概率为
恰有两人命中目标的概率为
答：至少有一人命中目标的概率为0.94，恰有两人命中目标的概率为0.44；
（Ⅱ）设甲每次射击为一次试验，从而该问题构成三次重复独立试验，
又已知在每次试验中事件“命中目标”发生的概率为0.7，
故所求概率为
答：他恰好命中两次的概率为0.441。
甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹。根据以往资料知，甲击中8环，9环，10环的概率分别为0.6，0.3，0.1，乙击中8环，9环，10环的概率分别为0.4，0.4，0.2。设甲、乙的射击相互独立。
（1）求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；
（2）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率。
正确答案
解：记A1，A2分别表示甲击中9环，10环，
B1，B2分别表示乙击中8环，9环，
A表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，
B表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数，
C1，C2分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲击中环数多于乙击中的环数
（1）
（2）
甲、乙、丙三人独立地对某一技术难题进行攻关。甲能攻克的概率为
（1）求这一技术难题被攻克的概率；
（2）现假定这一技术难题已被攻克，上级决定奖励a万元。奖励规则如下：若只有1人攻克，则此人获得全部奖金a万元；若只有2人攻克，则奖金奖给此二人，每人各得
正确答案
解：（1）
（2）X的可能值为0，
则
∴X的分布列为
投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．
(Ⅰ)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
(Ⅱ)求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．
正确答案
解：(Ⅰ)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；
B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；
C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；
D表示事件：稿件被录用，
则D=A+B·C，
P(A)=0.5×0.5=0.25，P(B)=2×0.5×0.5=0.5，P(C)=0.3，
P(D)=P(A+B·C)=P(A)+P(B·C)=P(A)+P(B)P(C)=0.25+0.5×0.3=0.40。
(Ⅱ)记A0表示事件：4篇稿件中没有1篇被录用；
A1表示事件：4篇稿件中恰有1篇被录用；
A2表示事件：4篇稿件中至少有2篇被录用．
P(A0)=(1-0.4)4=0.1296，
P(A1)=
P(
P(A2)=1-P(
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