- 随机事件的概率
- 共3327题
投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用。设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3，各专家独立评审。
（1）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
（2）记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望。
正确答案
解：（1）记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；
B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；
C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；
D表示事件：稿件被录用，
则D=A+B·C
（2）X~B（4，0.4），其分布列为
期望EX=4×0.4=1.6。
甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试，已知甲能通过测试的概率是
（Ⅰ）求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少；
（Ⅱ）求测试结束后通过的人数ξ的数学期望Eξ．
正确答案
（Ⅰ）设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是x、y依题意得：
即
所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是
（Ⅱ）因为随机变量ξ表示测试结束后通过的人数，由题意可知ξ的所有可能值为：0，1，2，3，
并且P（ξ=0）=
P（ξ=3）=
所以Eξ=0×
某售报亭每天以每份0.4元的价格从报社购进若干份报纸，然后以每份1元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的报纸以每份0.1元的价格卖给废品收购站．
（Ⅰ）若售报亭一天购进280份报纸，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量x（单位：份，x∈N）的函数解析式．
（Ⅱ）售报亭记录了100天报纸的日需求量（单位：份），整理得下表：
（1）假设售报亭在这100天内每天购进280份报纸，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；
（2）若售报亭一天购进280份报纸，以100天记录的各需求量的频率作为各销售量发生的概率，求当天的利润不超过150元的概率．
正确答案
（Ⅰ）当x≥280时，y=280×（1-0.4）=168；
当x＜280时，y=（1-0.4）x-（280-x）×0.4=0.9x-84
∴y=
（Ⅱ）（1）这100天中，每天利润为132元的有10天，每天利润为141元的有20天，每天利润为150元的有16天，每天利润为159元的有16天，每天利润为168元的有38天，所以这100天的日利润的平均数为
（2）利润不超过150元当且仅当报纸日需求量不大于260份，故当天的利润不超过150元的概率的概率为
P=0.1+0.2+0.16=0.46．…（12分）
某售报亭每天以每份0.4元的价格从报社购进若干份报纸，然后以每份1元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的报纸以每份0.1元的价格卖给废品收购站．
（Ⅰ）若售报亭一天购进280份报纸，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量x（单位：份，x∈N）的函数解析式．
（Ⅱ）售报亭记录了100天报纸的日需求量（单位：份），整理得下表：
（1）假设售报亭在这100天内每天购进280份报纸，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；
（2）若售报亭一天购进280份报纸，以100天记录的各需求量的频率作为各销售量发生的概率，求当天的利润不超过150元的概率．
正确答案
（Ⅰ）当x≥280时，y=280×（1-0.4）=168；
当x＜280时，y=（1-0.4）x-（280-x）×0.4=0.9x-84
∴y=
（Ⅱ）（1）这100天中，每天利润为132元的有10天，每天利润为141元的有20天，每天利润为150元的有16天，每天利润为159元的有16天，每天利润为168元的有38天，所以这100天的日利润的平均数为
（2）利润不超过150元当且仅当报纸日需求量不大于260份，故当天的利润不超过150元的概率的概率为
P=0.1+0.2+0.16=0.46．…（12分）
如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是
（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
正确答案
解：（1）因为事件A与事件B不能同时发生，所以A与B 是互斥事件，且有C=A∪B，故P（C）=P（A∪B）=P（A）+
（2）因为取一张牌时，取到红色牌与取到黑色牌不可能同时发生，所以C与D是互斥事件，又由事件C与事件D必有一个发生，所以C与D互为对立事件，所以P（D）=
甲、乙两人下棋，和棋的概率为
（1）甲获胜的概率；
（2）甲不输的概率。
正确答案
解：（1）“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，
所以“甲获胜”的概率
即甲获胜的概率是
（2）设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以
根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．
（I）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（II）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
正确答案
解：记A：该地的一位车主购买甲中保险，
B表示：该地的一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险，
C表示：该地的一位车主至少购买甲、乙两个保险中的一种，
D表示：该地的一位车主甲、乙两种保险都不购买，
E表示：该地的3位车主中恰有1位车主甲和乙两种保险都不购买，
（I）该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种，包括两种情况，这两种情况是互斥的， P（A）=0.5，P（B）=0.3，
∴P（C）=P（A+B）=P（A）+P（B）=0.5+0.3=0.8
（II）该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买
P（D）=1﹣P（C）=1﹣0.8=0.2， P（E）=C31×0.2×0.82=0.384
在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：
计算在同一时期内，这条河流这一处的年最高水位（单位： m）在下列范围内的概率：
（1）[10，16）；
（2）[8，12）；
（3）[14，18）。
正确答案
解：记该河流这一处的年最高水位（单位：m）在[8， 10），[10，12），[12，14），[14，16），[16，18）分别为事件A，B，C， D，E。
（1）P（ B∪C∪D）=P（B）+P（C）+P（D）=0.28+0.38+0.16=0.82；
（2）P（A∪B）=P（A）+P（B）=0.1+0.28=0.38；
（3） P（D∪E）=P（D）+P（E）=0.16+0.08=0.24，
所以年最高水位（单位：m）在[10，16），[8，12），[14，18）的概率分别为0.82，0.38，0.24。
由经验得知：在人民商场排队等候付款的人数及其概率如下表：
（1）求至多2人排队的概率；
（2）求至少2人排队的概率。
正确答案
解：（1）至多2人排队的概率P1=0.10 +0.16+0.30=0.56；
（2）至少2人排队的概率P2=1-（0.10+0.16）=0.74。
某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24、0.28、0.19、0.16、0.13，计算这个射手在一次射击中：
（1）至少射中7环的概率；
（2）射中环数不足8环的概率。
正确答案
解：设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A、B、C、D、E，则A、B、C、D、E彼此互斥，
（1）P（A+B+C+D）=P（A）+P（B）+P（C）+P（D）=0.24+0.28+0.19+0.16=0.87，
即至少射中7环的概率为0.87；
（2）P（D+E）=P（D）+P（E）=0.16+0.13=0.29，
即射中环数不足8环的概率为0.29。
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