- 随机事件的概率
- 共3327题
已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率．
正确答案
（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件B．由于事件A，B相互独立，且P(A)=
故取出的4个球均为红球的概率是P(A•B)=P(A)•P(B)=
（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球为黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件D．由于事件C，D互斥，且P(C)=
故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为P(C+D)=P(C)+P(D)=
本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。有甲、乙两人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为
（Ⅰ）分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率。
正确答案
解：（Ⅰ）分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A、B，则
答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为
（Ⅱ）记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元为事件C，则
答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为
对某班一次测验成绩进行统计，如下表所示：
（1）求该班成绩在[81，100]内的概率；
（2）求该班成绩在[61，100]内的概率。
正确答案
解：记该班的测试成绩在[100～91），[90～81），[80，71），[70，61） 内依次为事件A，B，C，D，由题意知事件A，B，C，D是彼此互斥的
（1）该班成绩在[81，100]内的概率是P（A∪B）=P（A）+P （B）=0.15+0.25=0.4；
（2）该班成绩在[61，100]内的概率是P （A∪B∪C∪D）=P（A）+P（B）+P（C）+P（D）=0.15+0. 25+0.36+0.17 =0.93。
某射击运动员在一次射击中，命中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.2、0.35、0.2、0，15．求此运动员
（1）在一次射击中，命中10环或9环的概率．
（2）在一次射击中，命中环数小于8环的概率．
（3）在两次射击中，至少有一次击中10环的概率．
正确答案
（1）设“命中10环”为事件A，“命中9环”为事件B，则A、B互斥，
故在一次射击中，命中10环或9环的概率为 P（A+B）=P（A）+P（B）=0.2+0.35=0.55．…（4分）
（2）设“命中10环、9环或8环”为事件C，则P（C）=0.2+0.35+0.2=0.75，
故小于8环的概率：P（
（3）设“第一次命中10环”与“第二次命中10环”分别为事件M、N，则M与N相互独立，则至少有一次击中10环的概率为
P=P（M）•P（N）+P（
=1-P（
假设向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，炸中其余两个的概率都为0.1，并且只要炸中一个，其余两个也要发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率。
正确答案
解：设A，B，C分别表示炸弹炸中第一、第二、第三个军火库这三个事件，
则P（A）=0.025，P（B）=P（C）=0.1
又设D表示军火库发生爆炸这个事件，则有D=A∪B∪C，其中A，B，C彼此互斥，
所以P（D）=P（A）+P（B）+P（C）=0.025+0.1+0.1=0.225
即军火库发生爆炸的概率为0.225。
假设向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，炸中其余两个的概率都为0.1，并且只要炸中一个，其余两个也要发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率。
正确答案
解：设A，B，C分别表示炸弹炸中第一、第二、第三个军火库这三个事件，
则P（A）=0.025，P（B）=P（C）=0.1
又设D表示军火库发生爆炸这个事件，则有D=A∪B∪C，其中A，B，C彼此互斥，
所以P（D）=P（A）+P（B）+P（C）=0.025+0.1+0.1=0.225
即军火库发生爆炸的概率为0.225。
已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率．
正确答案
（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件B．由于事件A，B相互独立，且P(A)=
故取出的4个球均为红球的概率是P(A•B)=P(A)•P(B)=
（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球为黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件D．由于事件C，D互斥，且P(C)=
故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为P(C+D)=P(C)+P(D)=
甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0、6，乙获胜的概率为0、4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．
（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ得分布列及数学期望．
正确答案
记Ai表示事件：第i局甲获胜，（i=3、4、5）
Bi表示第j局乙获胜，j=3、4
（1）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利，
∵前2局中，甲、乙各胜1局，
∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，
∴B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5
由于各局比赛结果相互独立，
∴P（B）=P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5）
=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6
=0.648
（2）ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3
由于各局相互独立，得到ξ的分布列
P（ξ=2）=P（A3A4+B3B4）=0.52
P（ξ=3）=1-P（ξ=2）=1-0.52=0.48
∴Eξ=2×0.52+3×0.48=2.48．
（1）全运会中某省派出两名女乒乓球运动员参加单打比赛，她们夺取冠军的概率分别是
（2）某人射击一次，击中环数大于7的概率是0.6，击中环数是6或7或8的概率是0.3，则击中环数大于5的概率为0.6+0.3=0.9，对吗？为什么？
正确答案
解：（1）对，因为两人分别夺取冠军是互斥事件，所以该省夺取该项冠军的概率为
（2）错，因为“击中环数大于7”与“击中环数是6或7或8” 不是互斥事件，所以不能用互斥事件的概率加法公式计算。
某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”。判断它们是不是对立事件：
（1）A与C；
（2）B与E；
（3）B与D；
（4）B与C；
（5）C与E。
正确答案
解：（1）由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件；
（2）事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B发生会导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B 与E还是对立事件。 （3）事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件；
（4）事件B“至少订一种报纸”中包括“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”，事件C“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”，由于这两个事件可能同时发生，故B 与C不是互斥事件；
（5）由（4）的分析，事件E“一种报纸也不订”仅仅是事件C中的一种可能情况，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件。
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