- 随机事件的概率
- 共3327题
某人进行射击，每次中靶的概率均为0.8．现规定：若中靶就停止射击；若没中靶，则继续射击．如果只有3发子弹，则射击次数ξ的数学期望为______（用数字作答）．
正确答案
∵射击一次的概率是0.8，
射击二次的概率是0.2×0.8=0.16，
射击三次的概率是1-0.8-0.16=0.04，
∴数学期望是1×0.8+2×0.16+3×0.04=1.24．
故答案为：1.24．
袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率：
（1）摸出2个或3个白球；
（2）至少摸出1个白球；
（3）至少摸出1个黑球．
正确答案
从8个球中任意摸出4个共有C84种不同的结果．
记从8个球中任取4个，其中恰有1个白球为事件A1，
恰有2个白球为事件A2，3个白球为事件A3，4个白球为事件A4，恰有i个黑球为事件Bi．
则（1）摸出2个或3个白球的概率
P1=P（A2+A3）=P（A2）+P（A3）=
（2）至少摸出1个白球的概率
P2=1-P（B4）=1-0=1．
（3）至少摸出1个黑球的概率
P3=1-P（A4）=1-
在某段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨的概率是0.3．两地是否下雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：
（1）甲、乙两地都不下雨的概率；
（2）甲、乙两地恰有一个地方下雨的概率；
（3）甲、乙两地至少一个地方下雨的概率；
（4）甲、乙两地至多一个地方下雨的概率．
正确答案
由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，
∵甲地下雨的概率为0.2，乙地下雨的概率为0.3，
∴（1）甲地和乙地都不下雨的概率是
P=（1-0.2）（1-0.3）=0.8×0.7=0.56；
（2）甲、乙两地恰有一个地方下雨的概率：
P=0.2×（1-0.3）+（1-0.2）×0.3=0.14+0.24=0.38
（3）甲、乙两地至少一个地方下雨的概率：
P=1-（1-0.2）（1-0.3）=1-0.56=0.44
（4）甲、乙两地至多一个地方下雨的概率：
P=（1-0.2）（1-0.3）+0.2×（1-0.3）+（1-0.2）×0.3=0.56+0.38=0.94
（在一次智力竞赛中，比赛共分为两个环节：选答、抢答．第一环节“选答”中，每位选手可以从6个题目（其中4个选择题、2个操作题）中任意选3个题目作答，答对每个题目可得100分；第二环节“抢答”中一共为参赛选手准备了5个抢答题，在每一个题目的抢答中，每个选手抢到的概率是相等的，现有甲、乙、丙三位选手参加比赛．试求：
（1）乙选手在第一环节中至少选到一个操作题的概率是多少？
（2）在第二环节中，甲选手抢到的题目多于乙选手而不多于丙选手的概率是多少？
正确答案
（1）在第一环节中，乙选手可以从6个题目（其中4个选择题、2个操作题）中任意选3个题目作答，
一共有C63种不同的选法，其中没有操作题的选法有C43种，
所以至少有一个操作题的概率是P1=1-
（2）在第二环节中，甲选手抢到的题目多于乙选手而不多于丙选手的情况共有以下三种情况：
甲、乙、丙三位选手抢到题目的数目分别为：1，0，4；2，0，3；2，1，2．
所以所求概率为P2=C51（
班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．
（I）为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率；
（Ⅱ）为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个人表演的概率．
正确答案
（I）利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果（如下图所示）．
由上图可以看出，实验的所有可能结果数为20．
因为每次都随机抽取，因此这20种结果出现的可能性是相同的，属于古典概型．
用A1表示事件“连续抽取2人，有1女生、1男生”，A2表示事件“连续抽取2人都是女生”，
则A1与A2互斥，并且A1∪A2表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，
由列出的所有可能结果可以看出，A1的结果有12种，A2的结果有2种，
由互斥事件的概率加法公式，可得P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=
即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7．
（Ⅱ）有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，
并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，
所有的可能结果可以用下表列出．
试验的所有可能结果数为25，并且这25种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典型
用A表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A的结果共有5种，
因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率P(A)=
某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为
（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望Eξ．
正确答案
设“科目A第一次考试合格”为事件A1，“科目A补考合格”为事件A2；
“科目B第一次考试合格”为事件B1，“科目B补考合格”为事件B2．
（Ⅰ）不需要补考就获得证书的事件为A1•B1，注意到A1与B1相互独立，
根据相互独立事件同时发生的概率
可得P(A1•B1)=P(A1)×P(B1)=
即该考生不需要补考就获得证书的概率为
（Ⅱ）由已知得，ξ=2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，
根据相互独立事件同时发生的概率
可得P(ξ=2)=P(A1•B1)+P(
=
P(ξ=3)=P(A1•
=
P(ξ=4)=P(
=
∴Eξ=2×
即该考生参加考试次数的数学期望为
从一篮鸡蛋中取五个，如果其重量小于30克的概率是0.3，重量在[30，40]克的概率是0.5，那么其重量不大于40克的概率是______．
正确答案
重量不大于40克的概率等于重量小于30克的概率加上重量在[30，40]克的概率，
即0.3+0.5=0.8．
故答案为0.8．
袋子A和袋子B均装有红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是
（1）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次，求恰好有3次摸到红球的概率；
（2）若A、B两个袋子中的总球数之比为1：2，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率为
正确答案
（1）每次从A中摸一个红球的概率是 
根据独立重复试验的概率公式，故共摸5次，恰好有3次摸到红球的概率为：
P=
（2）设A中有m个球，A、B两个袋子中的球数之比为1：2，则B中有2m个球，
∵将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是 
∴
解得p=
（在一次智力竞赛中，比赛共分为两个环节：选答、抢答．第一环节“选答”中，每位选手可以从6个题目（其中4个选择题、2个操作题）中任意选3个题目作答，答对每个题目可得100分；第二环节“抢答”中一共为参赛选手准备了5个抢答题，在每一个题目的抢答中，每个选手抢到的概率是相等的，现有甲、乙、丙三位选手参加比赛．试求：
（1）乙选手在第一环节中至少选到一个操作题的概率是多少？
（2）在第二环节中，甲选手抢到的题目多于乙选手而不多于丙选手的概率是多少？
正确答案
（1）在第一环节中，乙选手可以从6个题目（其中4个选择题、2个操作题）中任意选3个题目作答，
一共有C63种不同的选法，其中没有操作题的选法有C43种，
所以至少有一个操作题的概率是P1=1-
（2）在第二环节中，甲选手抢到的题目多于乙选手而不多于丙选手的情况共有以下三种情况：
甲、乙、丙三位选手抢到题目的数目分别为：1，0，4；2，0，3；2，1，2．
所以所求概率为P2=C51（
为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的
求：（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
（2）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率．
正确答案
记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i=1，2，3，
由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，
Ai，Bj，Ck（i，j，k=1，2，3且i，j，k互不相同）相互独立，
且P（Ai）=
（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率
P=3×2×P（A1B2C3）=6P（A1）P（B2）P（C3）=6×
（2）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率
P=1-P（
=1-P（
=1-（1-
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