- 随机事件的概率
- 共3327题
现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组。
（1）求A1被选中的概率；
（2）求B1和C1不全被选中的概率。
正确答案
解：（1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间
由18个基本事件组成，由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的
用M表示“
事件M由6个基本事件组成
因而
（2）用N表示“
则其对立事件
由于
事件
所以
由对立事件的概率公式得
一个口袋中装有大小相同的2个红球，3个黑球和4个白球，从口袋中一次摸出一个球，摸出的球不再放回。
（1）连续摸球2次，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率；
（2）如果摸出红球，则停止摸球，求摸球次数不超过3次的概率。
正确答案
解：（1）从袋中依次摸出2个球共有
（2）第一次摸出红球的概率为
某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道。若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止。
（I）求走出迷宫时恰好用了1小时的概率；
（Ⅱ）求走出迷宫的时间超过3小时的概率。
正确答案
解：（Ⅰ）走出迷宫时恰好用了1小时需第1次到达智能门打开1号通道，此时事件发生的概率
（Ⅱ）走出迷宫的时间超过3小时有两种情况：
（i）第1次打开2号通道，第2次打开3号通道，此时
（ii）第1次打开3号通道，此时
∴所求事件概率为
甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为
（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；
（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率。
正确答案
解：（Ⅰ）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，
由题设条件有
由①、③得
代入②得27[P(C)]2-51P(C)+22=0，解得
将
即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是
（Ⅱ）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，
则
故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为
一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4。
（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率。
正确答案
解：（1）从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个，从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2，1和3两个
因此所求事件的概率
（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果（m，n）有（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4） （4，1）（4，2）（4，3）（4，4）共16个，又满足m+2≤n的事件的概率为
将一枚均匀的硬币连续抛掷四次，求：
（1）恰好出现两次正面向上的概率；
（2）恰好出现三次正面向上的概率；
（3）至少出现一次正面朝上的概率。
正确答案
解：基本事件的总数n=2×2×2×2=16，
（1）事件A={恰好出现两次正面向上}包含的基本事件为：
（正，正，反，反），（正，反，正，反），（正，反，反，正），（反，正， 正，反），（反，正，反，正），（反，反，正，正），共有6种，
则
（2）事件B={恰好出现三次正面向上}包含的基本事件为：（正，正，正，反），（正，正，反，正），（正，反，正，正），（反，正，正，正），共有4种，
则P（B）=
（3）事件C={至少出现一次正面向上}的对立事件为{均为反面向上}，
即（反，反，反，反），
则P（C）=
为了参加师大附中第23届田径运动会的开幕式，高三年级某6个班联合到集市购买了6根竹竿，作为班旗的旗杆之用，它们的长度分别为3.8，4.3，3.6，4.5，4.0，4.1（单位：米），
（1）若从中随机抽取两根竹竿，求长度之差不超过0.5米的概率；
（2）若长度不小于4米的竹竿价格为每根10元，长度小于4米的竹竿价格为每根a元．从这6根竹竿中随机抽取两根，若期望这两根竹竿的价格之和为18元，求a的值。
正确答案
解：（1 ）因为6根竹竿的长度从小到大依次为3.6，3.8，4.0，4.1，4.3，4.5，其中长度之差超过0.5米的两根竹竿长可能是3.6和4.3，3.6和4.5 ，3.8和4.5，
设“抽取两根竹竿的长度之差不超过0.5 米”为事件A ，
则
所以P（A）=
故所求的概率为
（2）设任取两根竹竿的价格之和为ξ，则ξ的可能取值为2a，a+10，20，
其中P（ξ=2a）=
所以E（ξ）=
令
在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次。某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2。该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用X表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为：
（1）求q2的值；
（2）求随机变量X的均值E（X）；
（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。
正确答案
解：（1）由题设知，“X=0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，
由对立事件和相互独立事件性质可知 P（X=0）=（1-q1）（1-q2）2=0.03。
（2）根据题意
P1=P（X=2）=（1-q1）C12（1-q2）q2=0.75×2×0.2×0.8=0.24；
P2=P（X=3）=q1（1-q2）2=0.25×（1-0.8）2=0.01；
P3=P（X=4）=（1-q1）q22=0.75×0.82=0.48；
P4=P（X=5）=q1q2+q1（1-q2）q2 =0.25×0.8+0.25×0.2×0.8=0.24
因此E（X）=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63。
（3）用C表示事件“该同学选择第一次在A处投，以后都在B处投，得分超过3分”，
用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”，
则 P（C）=P（X=4）+P（X=5）=P3+P4=0.48+0.24=0.72
P（D）=q22+C21q2（1-q2）q2=0.82+2×0.8×0.2×0.8=0.896
故P（D）＞P（C）
即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处投以后都在B处投得分超过3分的概率。
某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为
（1）随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；
（2）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的数学期望；
（3）随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率。
正确答案
解：（1）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A，
事件A等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”
（2）由题可知随机变量X服从超几何分布，
∴
∴
（3）设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B，
事件B等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以
某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同。假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2；从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换，
（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；
（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；
（Ⅲ）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作中，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）。
正确答案
解：（Ⅰ）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为
需要更换2只灯泡的概率为
（Ⅱ）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p1）2；
在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p1(1-p2)，
故所求的概率为
（Ⅲ）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为p5（其中p为（Ⅱ）中所求，下同），
换4只的概率为
故至少换4只灯泡的概率为
又当p1=0.8，p2=0.3时，
∴
即满两年至少需要换4只灯泡的概率为0.34。
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