- 随机事件的概率
- 共3327题
某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立。根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，第二次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.6、0.5、0.5。
（1）求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格，而乙不合格的概率；
（2）分别求出甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格入选的概率；
（3）求经过前后两次选拔后，恰有一人合格入选的概率。
正确答案
解：（1）分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件A1，B1，E表示第一次选拔后甲合格、乙不合格，则
（2）分别设甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格入选为事件A，B，C，则
（3）设F表示经过前后两次选拔后，恰有一人合格入选，则
某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响。已知师父加工一个零件是精品的概率为
（1）求：徒弟加工2个零件都是精品的概率；
（2）求：徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率；
（3）设师徒二人加工出的4个零件中精品个数为X，求：X的分布列与均值E（X）。
正确答案
解：（1）设徒弟加工1个零件是精品的概率为p1，
则
所以徒弟加工2个零件都是精品的概率是
（2）设徒弟加工零件的精品数多于师父的概率为p，
由（1）知，
师父加工两个零件中，精品个数的分布列如下：
徒弟加工两个零件中，精品个数的分布列如下：
所以
（3）X的分布列为
X的期望为
如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立。已 知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999。
（1）求p；
（2）求电流能在M与N之间通过的概率；
（3）ξ表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望。
正确答案
解：记Ai表示事件：电流能通过Ti，i=1，2，3，4
A表示事件：T1，T2，T3中至少有一个能通过电流
B表示事件：电流能在M与N之间通过
（1）
又
故
（2）
（3）由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能否通过各元件相互独立
故ξ~B（4，0.9），
Eξ=4×0.9=3.6。
设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，
（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；
（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率。
正确答案
解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A、B、C，
则A、B、C相互独立，
由题意得：P（AB）=P(A)·P(B)=0.05，
P（AC）=P(A)·P(C)=0.1，
P（BC）=P(B)·P(C)=0.125，
解得：P(A)=0.2；P(B)=0.25；P(C)=0.5，
所以，甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5。
（Ⅱ）∵A、B、C相互独立，
∴
∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为
∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为
在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
（1）求q2的值；
（2）求随机变量ξ的数学期望Eξ；
（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。
正确答案
解：（1）设该同学在A处投中为事件A，在B处投中为事件B，
则事件A，B相互独立，且P(A)=0.25，
根据分布列知：ξ=0时，
所以
（2）当ξ=2时，P1=
当ξ=3时，P2=
当ξ=4时，P3=
当ξ=5时，P4=
所以随机变量ξ的分布列为
随机变量ξ的数学期望
（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为
该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72，
由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大。
甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成的概率分别是0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
（Ⅰ）甲试跳三次，第三次才成功的概率；
（Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率。
正确答案
解：记“甲第i次试跳成功”为事件Ai，“乙第i次试跳成功”为事件Bi，
依题意得
（Ⅰ）“甲第三次试跳才成功”为事件
∴
答：甲第三次试跳才成功的概率为0.063；
（Ⅱ）“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C，
答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88。
在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
（1）求q2的值；
（2）求随机变量ξ的数学期望Eξ；
（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。
正确答案
解：（1）设该同学在A处投中为事件A，在B处投中为事件B，
则事件A，B相互独立，且P(A)=0.25，
根据分布列知：ξ=0时，
所以
（2）当ξ=2时，P1=
当ξ=3时，P2=
当ξ=4时，P3=
当ξ=5时，P4=
所以随机变量ξ的分布列为
随机变量ξ的数学期望
（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为
该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72，
由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大。
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为
（Ⅰ）求乙投球的命中率p；
（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望。
正确答案
解：（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B，
由题意得
所以乙投球的命中率为
（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知
ξ可能的取值为0，1，2，3，
故
ξ的分布列为
ξ的数学期望
北京时间2011年3月11日13时46分，在日本东海岸附近海域发生里氏9级地震后引发海啸，导致福岛第一核电站受损严重．3月12日以来，福岛第一核电站的4台机组（编号分别为1、2、3、4）的核反应堆相继发生爆炸，放射性物质泄漏到外部．某评估机构预估日本在十年内修复该核电站第1、2、3、4号机组的概率分别为
（1）求十年内这4台机组中恰有1台机组被修复的概率；
（2）求十年内这4台机组中至少有两台机组被修复的概率．
正确答案
解：（Ⅰ）记十年内这4台机组中恰有1台机组被修复为事件A，
则十年中第i台机组被修复的事件为Ai，{i=1、2、3、4），
只有第1台被修复的概率P1=P（A1
只有第2台被修复的概率P2=P（
只有第3台被修复的概率P3=P（
只有第4台被修复的概率P4=P（
则恰有1台机组被修复的概率P（A）=P1+P2+P3+P4=（
（Ⅱ）事件“4台机组中至少有两台机组被修复”的对立事件为“4台机组全部没有修复或恰有1台修复”，记十年内这4台机组中全部没有修复为事件B，
则P（B）=（1﹣
由（Ⅰ）可得，4台机组中恰有1台机组被修复的概率P（A）=
而4台机组中全部没有修复的概率这4台机组中至少有两台机组被修复的概率
P=1﹣
甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空。比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止。设在每局中参赛者胜负的概率均为
求：（Ⅰ）打满3局比赛还未停止的概率；
（Ⅱ）比赛停止时已打局数ξ的分别列与期望Eξ。
正确答案
解：令
（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，
打满3局比赛还未停止的概率为
（Ⅱ）ξ的所有可能值为2，3，4，5，6，
且
故有分布列
从而
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