- 随机事件的概率
- 共3327题
已知直线
（1）求直线
（2）求直线
正确答案
（1）
（1）解：直线
设事件
若
满足条件的实数对
所以
答：直线
（2）解：设事件
联立方程组
因为直线
即
满足条件的实数对
所以
答：直线
袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率．
（1）摸出2个或3个白球
（2）至少摸出一个黑球．
正确答案
（1）设摸出的4个球中有2个白球、3个白球分别为事件A，B，
则P(A)=
∵A，B为两个互斥事件∴P(A+B)=P(A)+P(B)=
即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为
（2）设摸出的4个球中全是白球为事件C，
则P(C)=
至少摸出一个黑球为事件C的对立事件
其概率为1-
现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
（Ⅰ）求A1被选中的概率；
（Ⅱ）求B1和C1不全被选中的概率．
正确答案
（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，
其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2），（A2，B1，C1），（A2，B1，C2），（A2，B2，C1），（A2，B2，C2），（A2，B3，C1），（A2，B3，C2），（A3，B1，C1），（A3，B1，C2），（A3，B2，C1），（A3，B2，C2），（A3，B3，C1），（A3，B3，C2）}
由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，
因此这些基本事件的发生是等可能的．
用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2）}
事件M由6个基本事件组成，因而P(M)=
（Ⅱ）用N表示“B1，C1不全被选中”这一事件，
则其对立事件
由于
所以P(
某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？
(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？
(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．
正确答案
（1）有关 （2）3 （3）
(1)因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目．所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．
(2)应抽取大于40岁的观众人数为
(3)用分层抽样方法抽取的5名观众中，20至40岁有2名(记为Y1，Y2)，大于40岁有3名(记为A1，A2，A3)，5名观众中任取2名，共有10种不同取法：Y1Y2，Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，A1A2，A1A3，A2A3．
设A表示随机事件“5名观众中任取2名，恰有1名观众年龄为20至40岁”．
则A中的基本事件有6种：Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，
故所求概率为P(A)＝
一个总体中的1000个个体编号为0,1,2，…，999，并依次将其分为10个小组，组号为0,1,2，…，9，要用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定若在第0组随机抽取的号码为x，则第k组中抽取的号码的后两位数为x＋33k的后两位数．当x＝24时，所抽取样本的10个号码是________，若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，则x的取值集合是________．
正确答案
24,157,290,323,456,589,622,755,888,921
{87,54,21,88,55,22,89,56,23,90}
关键是“抽取的规则”①24,157,290,323,456,589,622,755,888,921，②“x＋33k”的后两位数等于87，应讨论k＝0,1，…，9．解方程即可：x取值：87,54,21,88,55,22,89,56,23,90．
高二年级的一个研究性学习小组在网上查知，某珍贵植物种子在一定条件下发芽成功的概率为
（1）第1组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；
（2）第二小组做了若干次发芽试验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但发芽实验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽实验的次数
正确答案
（1）
试题分析：（1）由题设条件知，种下5粒种子至少有3次成功的概率相当于5次独立重复试验中恰好发三次、四次、五次的概率．至少有3次成功的概率等于3次、4次、5次发芽成功的概率之和．（2）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，5分别求其概率，列出分布列，再求期望即可．
解：（1）至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功，所以所求概率
（2）
所以
（本小题满分12分）有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4．
（Ⅰ）甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁
（Ⅱ）摸球方法与（Ⅰ）同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？请说明理由。
正确答案
解：（Ⅰ）用
摸一球构成的基本事件，则基本事件有：
设：甲获胜的的事件为A，则事件A包含的基本事件有：
（Ⅱ）设：甲获胜的的事件为B，乙获胜的的事件
答：（Ⅰ）甲获胜的概率为
略
（本小题满分12分）
班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．
（1）如果按性别比例分层抽样，则样本中男、女生各有多少人；
（2）随机抽取8位同学，数学分数依次为：60，65，70，75，80，85，90，95；
物理成绩依次为：72，77，80，84，88，90，93，95，
①若规定80分（含80分）以上为良好，90分（含90分）以上为优秀，在良好的条件下，求两科均为优秀的概率；
②若这8位同学的数学、物理分数事实上对应下表：
根据上表数据可知，变量
正确答案
（1）样本中男、女生各有5和3人；
（2）①
②
（1）抽取男生数
（2）①
②
则线性回归方程为：
已知集合P={x|x（x2+10x+24）=0}，Q={y|y=2n-1，1≤n≤2，n∈N*}，M=P∪Q，
在平面直角坐标系中，点（x'，y'）的坐标x'∈M，y'∈M，试计算：
（1）点A正好在第三象限的概率；
（2）点A不在y轴上的概率；
（3）点A正好落在区域x2+y2≤10上的概率．
正确答案
由集合P={x|x（x2+10x+24）=0}可得P={-6，-4，0}，
由Q={y|y=2n-1，1≤n≤2，n∈N*}可得Q={1，3}，M=P∪Q={-6，-4，0，1，3}，
因为点A（x'，y'）的坐标，x'∈M，y'∈M，所以满足条件的A点共有5×5=25个，
（1）正好在第三象限点有（-6，-6），（-4，-6），（-6，-4），（-4，-4），
故点A正好在第三象限的概率P1=
（2）在y轴上的点有（0，-6），（0，-4），（0，0），（0，1），（0，3），
故点A不在y轴上的概率P2=1-
（3）正好落在x2+y2≤10上的点有（0，0），（1，0），（0，1），（3，1），（1，3），（3，0），（0，3）
故A落在x2+y2≤10上的概率为P3=
已知集合P={x|x（x2+10x+24）=0}，Q={y|y=2n-1，1≤n≤2，n∈N*}，M=P∪Q，
在平面直角坐标系中，点（x'，y'）的坐标x'∈M，y'∈M，试计算：
（1）点A正好在第三象限的概率；
（2）点A不在y轴上的概率；
（3）点A正好落在区域x2+y2≤10上的概率．
正确答案
由集合P={x|x（x2+10x+24）=0}可得P={-6，-4，0}，
由Q={y|y=2n-1，1≤n≤2，n∈N*}可得Q={1，3}，M=P∪Q={-6，-4，0，1，3}，
因为点A（x'，y'）的坐标，x'∈M，y'∈M，所以满足条件的A点共有5×5=25个，
（1）正好在第三象限点有（-6，-6），（-4，-6），（-6，-4），（-4，-4），
故点A正好在第三象限的概率P1=
（2）在y轴上的点有（0，-6），（0，-4），（0，0），（0，1），（0，3），
故点A不在y轴上的概率P2=1-
（3）正好落在x2+y2≤10上的点有（0，0），（1，0），（0，1），（3，1），（1，3），（3，0），（0，3）
故A落在x2+y2≤10上的概率为P3=
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