- 随机事件的概率
- 共3327题
已知甲盒内有大小相同的2个红球和2个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率．
正确答案
（I）取出的4个球均为红球的取法为C22×C32=3，所有的取法C42×C62=90，故所求的概率是
（II）取出的4个球中恰有1个红球包含的基本事件是C31×C31+C21×C21×C32=21
故所求的概率是
在运动场上有6个学生，分别戴着从1号到6号的号码牌，任意选两人记录其号码牌的号码．
（1）求最小号码为3的概率；
（2）求2个号码中至多有一个偶数的概率；
（3）求2个号码之和不超过9的概率．
正确答案
（1）由题意知，本题是等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从6个人中选2个，有C62=15种结果，
满足条件的事件是最小号码为3，相当于从4，5，6中任取一个，有3种结果，
∴最小号码为3的概率P=
（2）由题意知，本题是等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从6个人中选2个，有C62=15种结果，
满足条件的事件是2个号码中至多有一个偶数，包括没有偶数和只有一个偶数两种情况，
包含的事件数3×3+3=12种结果，
∴要求的概率是
（3）由题意知，本题是等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从6个人中选2个，有C62=15种结果
满足条件的事件是2个号码之和不超过9，它的对立事件是两个号码的和超过9，
有4，6；5，5；5，6三种结果，
∴2个号码之和不超过9的概率是1-
有红色和黑色两个盒子，红色盒中有6张卡片，其中一张标有数字0，两张标有数字1，三张标有数字2；黑色盒中有7张卡片，其中4张标有数字0，一张标有数字1，两张标有数字2．现从红色盒中任意取1张卡片（每张卡片被抽出的可能性相等），黑色盒中任意取2张卡片（每张卡片抽出的可能性相等），共取3张卡片．
（Ⅰ）求取出的3张卡片都标有数字0的概率；
（Ⅱ）求取出的3张卡片数字之积是4的概率；
（Ⅲ）求取出的3张卡片数字之积是0的概率．
正确答案
（I）由题意知本题是一个古典概型，
记“取出的3张卡片都标有数字0”为事件A．
∵试验发生时包含的所有事件是从红色盒中任意取1张卡片，黑色盒中任意取2张卡片共取3张卡片共有C61C72种取法．
而A事件表示的事件是红色盒中任意取1张卡片是0，黑色盒中任意取2张卡都是0共有C11C42种取法，
∴P(A)=
（Ⅱ）由题意知本题是一个古典概型，
记“取出的3张卡片数字之积是4”为事件B．
∵试验发生时包含的所有事件是从红色盒中任意取1张卡片，黑色盒中任意取2张卡片共取3张卡片共有C61C72种取法．
而取出的3张卡片数字之积是4包括红盒中取得1，黑盒钟取得两个2；
红盒子里取得一个2，黑盒子中取得一个2一个1，共有C21C22+C31C11C21种方法，
∴P(B)=
（Ⅲ）由题意知本题是一个古典概型，
记“取出的3张卡片数字之积是0”为事件C．
∵试验发生时包含的所有事件是从红色盒中任意取1张卡片，黑色盒中任意取2张卡片共取3张卡片共有C61C72种取法．
而取出的3张卡片数字之积是0的对立事件是取出的3张卡片数字之积不是0，
根据对立事件的概率求得结果，
P(C)=1-P(
学校文娱队中的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有5人，会跳舞的有7人，现从中随机选出3人．记X为选出的3人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P（X≥1）=
（Ⅰ）求学校文娱队中既会唱歌又会跳舞的人数；
（Ⅱ）求选出的3人中1人会唱歌2人会跳舞的概率．
正确答案
（Ⅰ）设学校文娱队中既会唱歌又会跳舞的人数为n，则文娱队共有12-n个人，其中只会唱歌或只会跳舞一项的人数为12-2n人． …（2分）
由 P(X≥1)=
所以 
即 
注意到12-2n≥3，且n是整数，从而n=0，1，2，3，4．
将n的这5个值代入上式检验，得n=2符合题意，所以学校文娱队中既会唱歌又会跳舞的有2人． …（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知学校文娱队的人数为10人，其中只会唱歌的有3人，只会跳舞的有5人，既会唱歌又会跳舞的有2人． …（9分）
设“选出的3人中1人会唱歌2人会跳舞”为事件A，…（10分）
所以，P(A)=
盒中装着标有数字1、2、3、4的小球各2个，从盒中任意摸一次，同时取出3个小球，每个小球被取到的可能性都相等，求：
（1）取出的3个小球上最大的数字是4的概率；
（2）取出的3个小球中有2个小球上的数字是3的概率；
（3）取出的3个小球上的数字的互不相同的概率．
正确答案
从盒中任意摸一次，同时取出3个小球，且每个小球被取到的可能性都相等，
由此可得所有的基本事件共
（1）记事件A=“取出的3个小球上最大的数字是4”，共有两类：
①3个球中有1个为4，另一个不是4，有
C26
=15个基本事件；
①3个球中有2个为4，另一个不是4，6个基本事件．
故符合题意的基本事件总数为15+6=21个
∴所求的概率为P（A）=
（2）记事件B=“取出的3个小球中有2个小球上的数字是3”，
符合题意的基本事件总共6个
∴所求的概率为P（B）=
（3）记事件C=“取出的3个小球上的数字的互不相同”，
符合题意的基本事件总共：
∴所求的概率为P（C）=
答：（1）取出的3个小球上最大的数字是4的概率为
（2）取出的3个小球中有2个小球上的数字是3的概率为
（3）取出的3个小球上的数字的互不相同的概率为
甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为
（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
（Ⅱ）若让每台机床各自加工2个零件（共计6个零件），求恰好有3个零件是一等品的概率．
正确答案
（Ⅰ）设“甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品”分别为A、B、C事件，则A、B、C相互独立，则
（Ⅱ）（1）设甲有0个一等品的概率为P1，则P1=(
1
4
)2•
2
3
)2]=
（2）设甲有1个一等品的概率为P2，则P2=
1
4
)2•(
1
3
)2+(
3
4
)2•(
2
3
)2+
（3）设甲有2个一等品的概率为P3，则P3=(
1
3
)2+(
3
4
)2•
所以，所求事件“恰好有三个零件是一等品”的概率为P=P1+P2+P3=
现有甲、乙两个盒子，甲盒子里盛有4个白球和4个红球，乙盒子里盛有3个白球和若干个红球，若从乙盒子里任取两个球取得同色球的概率为
（1）求乙盒子中红球的个数；
（2）从甲、乙盒子里任取两个球进行交换，若交换后乙盒子里的白球数和红球数相等，就说这次交换是成功的，试求进行一次这样的交换成功的概率是多少？
正确答案
（1）设乙盒中有个n红球，共有
其中取得同色球的取法有
故
即n=5．
（2）甲、乙两盒中任取两球交换后乙盒中白球与红球相等，则
①从甲盒中取出二个白球与乙盒中取出一个白球一个红球进行交换，
②从甲盒中取出一个红球和一个白球与乙盒中取出二个红球进行交换
则概率为P=
答：（1）乙盒中有红球5个，（2）进行一次成功交换的概率为
对任意一个非零复数z，定义集合Mz={w|w=z2n-1，n∈N}．
（Ⅰ）设α是方程x+
（Ⅱ）设复数ω∈Mz，求证：Mω⊆Mz．
正确答案
（Ⅰ）∵α是方程x2-
当α1=
∴Mα1={
当α2=
∴Mα2={
当α2=
因此，不论α取哪一个值，集合Mα是不变的，即Mα={
于是，在Ma中任取两个数，求其和为零的概率 P=
（Ⅱ）证明：∵ω∈Mz，∴存在m∈N，使得ω=z2m-1．…（12分）
于是对任意n∈N，ω2n-1=z（2m-1）（2n-1），由于（2m-1）（2n-1）是正奇数，ω2n-1∈Mz，所以Mω⊆Mz．…（14分）
学校文娱队中的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有5人，会跳舞的有7人，现从中随机选出3人．记X为选出的3人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P（X≥1）=
（Ⅰ）求学校文娱队中既会唱歌又会跳舞的人数；
（Ⅱ）求选出的3人中1人会唱歌2人会跳舞的概率．
正确答案
（Ⅰ）设学校文娱队中既会唱歌又会跳舞的人数为n，则文娱队共有12-n个人，其中只会唱歌或只会跳舞一项的人数为12-2n人． …（2分）
由 P(X≥1)=
所以
即
注意到12-2n≥3，且n是整数，从而n=0，1，2，3，4．
将n的这5个值代入上式检验，得n=2符合题意，所以学校文娱队中既会唱歌又会跳舞的有2人． …（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知学校文娱队的人数为10人，其中只会唱歌的有3人，只会跳舞的有5人，既会唱歌又会跳舞的有2人． …（9分）
设“选出的3人中1人会唱歌2人会跳舞”为事件A，…（10分）
所以，P(A)=
同时抛掷两枚均匀硬币，正面都同时向上的概率是 ______．
正确答案
出现的可能有：正正，正反，反正，反反．四种结果．并且出现每种结果的机会相同，可以用列举法求概率．
其中两枚都为正面朝上的有1种，故正面都向上的概率是 
故答案为：
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