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题型:简答题
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简答题 · 10 分

21.(1) [选修4-2:矩阵与变换]

已知,矩阵有一个属于特征值的特征向量

(1)求矩阵

(2)若矩阵,求

正确答案

见解析

解析

解:(1)

(2)

考查方向

本题主要考查了矩阵基本知识。

解题思路

1利用已知条件求矩阵A,2由矩阵A,求矩阵A-1,3由矩阵A-1,矩阵,求

易错点

本题必须注意审题,否则求解错误。

知识点

反证法的应用
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

18.已知△ABC的三边长为a、b、c,若成等差数列.求证:B不可能是钝角.

正确答案

(用反证法证明1)

成等差数列,

∴b2≤ac 即ac-b2≥0.

假设B是钝角,则cosB<0,

由余弦定理可得,

这与cosB<0矛盾,故假设不成立.

∴B不可能是钝角.

(用反证法证明2)

成等差数列,

假设B是钝角,则

则B是△ABC的最大内角,所以b>a,b>c,

(在三角形中,大角对大边),

从而,这与矛盾,

故假设不成立,因此B不可能是钝角.

(用综合法证明)

成等差数列,

证明:∵成等差数列,

,即2ac=b(a+c),

由余弦定理和基本不等式可得,

∵a,b,c为△ABC三边,∴a+c>b,

∴cosB>0,

∴∠B<900,因此B不可能是钝角.

解析

解析已在路上飞奔,马上就到!

知识点

等差数列的性质及应用反证法的应用
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

20.已知是整数,是偶数,求证:也是偶数.

正确答案

(反证法)假设不是偶数,即是奇数.

,则

是偶数,

是奇数,这与已知是偶数矛盾.

由上述矛盾可知,一定是偶数.

解析

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知识点

反证法的应用
1
题型:简答题
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简答题 · 18 分

若函数满足:集合中至少存在三个不同的数构成等比数列,则称函数等比源函数.

(1)判断下列函数:①;②中,哪些是等比源函数?(不需证明)

(2)证明:对任意的正奇数,函数不是等比源函数;

(3)证明:任意的,函数都是等比源函数。

正确答案

见解析

解析

(1)①②都是等比源函数.

(2)证明:假设存在正整数,使得成等比数列,

,整理得

等式两边同除以.

因为,所以等式左边为偶数,等式右边为奇数,

所以等式不可能成立,

所以假设不成立,说明对任意的正奇数,函数不是等比源函数

(3)因为任意的,都有

所以任意的,数列都是以为首项公差为的等差数列.

,(其中)可得

,整理得

,则

所以

所以任意的,数列中总存在三项成等比数列.

所以任意的,函数都是等比源函数.

知识点

等差数列的性质及应用等比数列的判断与证明反证法的应用
下一知识点 : 数学归纳法的应用
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