相关点法求轨迹方程
共18题

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题型：简答题

简答题 · 16 分

22．已知双曲线的左、右两个焦点为, ，动点P满足|P|+| P |=4。

（1）求动点P的轨迹E的方程；

（2）设过的直线交轨迹E于A、B两点，求以线段OA，OB 为邻边的平行四边形OAPB的顶点P的轨迹方程。

正确答案

（1）双曲线的方程可化为

∴P点的轨迹E是以为焦点，长轴为4的椭圆

由 ; 所求轨迹方程为

（2）略

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知识点

直线与圆锥曲线的综合问题定义法求轨迹方程相关点法求轨迹方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

9.已知圆C:x2+y2=16，过点P(2,3)作直线l交圆C于A,B两点，分别过A,B两点作圆C的切线，若两条切线相交于点Q,则点Q的轨迹方程为________

正确答案

2x+3y=16

解析

设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(m,n),则直线AQ的方程为x1x+y1y=16,直线BQ的方程为x2x+y2y=16,

因为点Q为两直线的交点,所以所以A,B两点都在直线xm+yn=16上,又点P(2,3)在弦AB上,所以2m+3n=16,故点Q的轨迹方程为2x+3y=16.

知识点

直线与圆的位置关系相关点法求轨迹方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

20.如图，轴，点M在DP的延长线上，且．当点P在圆上运动时。

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）过点的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标。

正确答案

解:（1）设点的坐标为，点的坐标为，

则，，所以，， ①

因为在圆上，所以 ②

将①代入②，得点的轨迹方程C的方程为．

（2）由题意知，．

当时，切线的方程为，点A、B的坐标分别为

此时，当时，同理可得；

当时，设切线的方程为

由

得③

设A、B两点的坐标分别为，则由③得：

．

又由l与圆相切，得即

所以

因为且当时，|AB|=2，

所以|AB|的最大值为2

依题意，圆心到直线AB的距离为圆的半径，

所以面积，

当且仅当时，面积S的最大值为1，

解析

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知识点

直线与圆相交的性质直线与圆锥曲线的综合问题相关点法求轨迹方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

9. 如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是（）

正确答案

解析

如图，设M点坐标（x,y），则P点坐标为(x,2y),因为P点在圆上，所以将P点坐标代入圆的方程得到，化成

椭圆的标准方程得到，所以

考查方向

本题主要考查用相关点法求曲线的轨迹方程，以及椭圆的定义，难度中档，属高考热点之一。圆锥曲线在高考中常涉及离心率的取值范围或某参数的取值范围等，计算量一般较大。

解题思路

如图，

设M点坐标（x,y），则P点坐标为(x,2y),然后将P点坐标代入圆的方程即得M点的轨迹方程，然后再求离心率

易错点

不会用相关点法求椭圆方程，或求出椭圆方程后忘记开方

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质相关点法求轨迹方程

题型：简答题

简答题 · 16 分

21．如图，圆与轴的正半轴交于点，是圆上的动点，点在轴上的投影是，点满足

（1）求动点的轨迹的方程，并说明轨迹是什么图形；

（2）过点的直线与点的轨迹交于不同的两点、，若，求直线的方程

正确答案

（1）设，则由题意得轴且M是DP的中点，

所以

又P在圆上，

所以，

即，

即

轨迹是以与为焦点，

长轴长为4的椭圆

（2）方法一：当直线的斜率不存在时，

，不满足题意。

设直线方程为，

代入椭圆方程得：

△

设，

则　　　（＊）

由知E是BF中点，

所以　　　　（＊＊）

由（＊）、（＊＊）

解得满足，

所以

即所求直线方程为：

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知识点

向量在几何中的应用直线的一般式方程直线与圆锥曲线的综合问题相关点法求轨迹方程

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